Страница 31-32 номер 5, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Доказать или опровергнуть гипотезу: 1) все люди — сёстры; 2) все треугольники прямоугольные; 3) число, предпоследняя цифра которого 2, является чётным; 4) сумма двух любых нечётных чисел есть число чётное; 5) квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел, сложенной с их удвоенным произведением; 6) \((a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2} \cdot b + 3a \cdot b^{2} + b^{3}\); 7) Иванов Саша и Иванов Дима — братья; 8) для любого натурального \(n\) число \(n^{2} + n + 41\) простое.
1) Гипотеза неверна. Опровергающий пример: любой мальчик — человек, но сестрой не является.
2) Гипотеза неверна. Опровергающий пример — равносторонний треугольник: все его углы равны \(60^{\circ}\), прямого среди них нет.
3) Гипотеза неверна: чётность числа определяется его последней цифрой. Опровергающий пример — число 23: его предпоследняя цифра — 2, а последняя — 3, поэтому число 23 нечётное.
4) Гипотеза верна. Любые два нечётных числа можно записать в виде \(2k + 1\) и \(2m + 1\), где \(k\) и \(m\) — целые числа. Их сумма \((2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)\) — чётное число, так как \(k + m + 1\) — целое число.
5) Гипотеза верна. Для любых чисел \(a\) и \(b\): \[(a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab.\]
6) Гипотеза верна. Для любых чисел \(a\) и \(b\): \[\begin{aligned} &(a + b)^{3} = (a + b)^{2}(a + b) = (a^{2} + 2ab + b^{2})(a + b) = {} \\ &= a^{3} + a^{2}b + 2a^{2}b + 2ab^{2} + ab^{2} + b^{3} = {} \\ &= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}. \end{aligned}\]
7) Данных недостаточно, чтобы доказать или опровергнуть гипотезу: одна фамилия бывает и у братьев, и у однофамильцев, которые не родственники.
8) Гипотеза неверна. Опровергающий пример: при \(n = 41\) получаем \(41^{2} + 41 + 41 = 41 \cdot (41 + 1 + 1) = 41 \cdot 43\) — составное число.
Ответ: 1) гипотеза неверна; 2) неверна; 3) неверна; 4) верна; 5) верна; 6) верна; 7) данных недостаточно, чтобы доказать или опровергнуть гипотезу; 8) неверна.
Доказать или опровергнуть гипотезу: 1) все люди — сёстры; 2) все треугольники прямоугольные; 3) число, предпоследняя цифра которого 2, является чётным; 4) сумма двух любых нечётных чисел есть число чётное; 5) квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел, сложенной с их удвоенным произведением; 6) \((a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2} \cdot b + 3a \cdot b^{2} + b^{3}\); 7) Иванов Саша и Иванов Дима — братья; 8) для любого натурального \(n\) число \(n^{2} + n + 41\) простое.
Чтобы опровергнуть гипотезу, достаточно одного опровергающего её примера; чтобы доказать её, нужно рассуждение, верное во всех случаях, — подтверждающие примеры гипотезу не доказывают.
1) Гипотеза неверна. Опровергающий пример: любой мальчик — человек, но сестрой не является.
2) Гипотеза неверна. Опровергающий пример — равносторонний треугольник: все его углы равны \(60^{\circ}\), прямого среди них нет.
3) Гипотеза неверна: чётность числа определяется его последней цифрой. Опровергающий пример — число 23: его предпоследняя цифра — 2, а последняя — 3, поэтому число 23 нечётное.
4) Гипотеза верна. Любые два нечётных числа можно записать в виде \(2k + 1\) и \(2m + 1\), где \(k\) и \(m\) — целые числа. Их сумма \((2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)\) — чётное число, так как \(k + m + 1\) — целое число.
5) Гипотеза верна. Для любых чисел \(a\) и \(b\), умножив скобки, получим сумму квадратов \(a^{2} + b^{2}\), сложенную с удвоенным произведением \(2ab\): \[(a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab.\]
6) Гипотеза верна. Для любых чисел \(a\) и \(b\), применив формулу квадрата суммы и умножив скобки, получим: \[\begin{aligned} &(a + b)^{3} = (a + b)^{2}(a + b) = (a^{2} + 2ab + b^{2})(a + b) = {} \\ &= a^{3} + a^{2}b + 2a^{2}b + 2ab^{2} + ab^{2} + b^{3} = {} \\ &= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}. \end{aligned}\]
7) Данных недостаточно, чтобы доказать или опровергнуть гипотезу: одна фамилия бывает и у братьев, и у однофамильцев, которые не родственники.
8) Гипотеза неверна. Опровергающий пример: при \(n = 41\) получаем \(41^{2} + 41 + 41 = 41 \cdot (41 + 1 + 1) = 41 \cdot 43\) — составное число.
Ответ: 1) гипотеза неверна; 2) неверна; 3) неверна; 4) верна; 5) верна; 6) верна; 7) данных недостаточно, чтобы доказать или опровергнуть гипотезу; 8) неверна.
