Страница 29 номер 16, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) белым, чёрным или зелёным?
Клетки нумеруем от 1 до 6; закраска — список цветов клеток по порядку номеров: красный в нём три раза, а белый, чёрный и зелёный — по одному разу, и перестановка красных между собой закраску не меняет.
\(P_{6} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\) — закрасок, если различать «красный-1», «красный-2», «красный-3».
Каждая закраска при этом посчитана \(P_{3} = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\) раз — столькими способами переставляются три красных цвета, поэтому способов закрасить клетки \[\frac{P_{6}}{P_{3}} = \frac{720}{6} = 120.\]
Проверка: белую клетку выбираем 6 способами, при каждом выборе чёрную из оставшихся — 5, зелёную — 4, три последние клетки красные; \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\).
Ответ: 120 способами.
Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) белым, чёрным или зелёным?
Пронумеруем клетки от 1 до 6. Закраска определяется списком цветов клеток по порядку номеров: красный цвет встречается в нём три раза, а белый, чёрный и зелёный — по одному разу; перестановка красных цветов между собой закраску не меняет. Поэтому закрасок меньше, чем перестановок из шести различных элементов.
Будем на время различать три красных цвета — «красный-1», «красный-2», «красный-3». Тогда все шесть цветов разные, каждым закрашена ровно одна клетка, и закрасок столько, сколько перестановок из шести элементов: \(P_{6} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\). Перестановка помеченных красных цветов между собой оставляет клетки закрашенными так же; три красных цвета можно переставить \(P_{3} = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\) способами, поэтому каждая закраска посчитана 6 раз. Значит, способов закрасить клетки \[\frac{P_{6}}{P_{3}} = \frac{720}{6} = 120.\]
Проверка: белую клетку можно выбрать 6 способами, при каждом выборе чёрную — 5 способами из оставшихся клеток, зелёную — 4, а три последние клетки закрашиваются красным. По правилу произведения \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\).
Ответ: 120 способами.
