Страница 29 номер 15, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие — белым, чёрным, зелёным и синим (каждым цветом — одна клетка)?
Клетки нумеруем от 1 до 6; закраска — список цветов клеток по порядку номеров: красный в нём два раза, а белый, чёрный, зелёный и синий — по одному разу, и перестановка двух красных закраску не меняет.
\(P_{6} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\) — закрасок, если различать «красный-1» и «красный-2».
Каждая закраска при этом посчитана \(P_{2} = 2\) раза — столькими способами переставляются два красных цвета, поэтому способов закрасить клетки \[\frac{P_{6}}{P_{2}} = \frac{720}{2} = 360.\]
Проверка: белую клетку выбираем 6 способами, при каждом выборе чёрную из оставшихся — 5, зелёную — 4, синюю — 3, две последние клетки красные; \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\).
Ответ: 360 способами.
Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие — белым, чёрным, зелёным и синим (каждым цветом — одна клетка)?
Пронумеруем клетки от 1 до 6. Закраска определяется тем, каким цветом закрашена каждая клетка, то есть списком цветов клеток по порядку номеров. В этом списке красный цвет встречается два раза, а белый, чёрный, зелёный и синий — по одному разу; если поменять местами два красных цвета, закраска не изменится. Поэтому закрасок меньше, чем перестановок из шести различных элементов.
Будем на время различать два красных цвета — «красный-1» и «красный-2». Тогда все шесть цветов разные, каждым закрашена ровно одна клетка, и закрасок столько, сколько перестановок из шести элементов: \(P_{6} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\). Если поменять местами «красный-1» и «красный-2», клетки останутся закрашенными так же; два красных цвета можно переставить \(P_{2} = 2\) способами, поэтому каждая закраска посчитана дважды. Значит, способов закрасить клетки \[\frac{P_{6}}{P_{2}} = \frac{720}{2} = 360.\]
Проверка: белую клетку можно выбрать 6 способами, при каждом выборе чёрную — 5 способами из оставшихся клеток, зелёную — 4, синюю — 3, а две последние клетки закрашиваются красным. По правилу произведения \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\).
Ответ: 360 способами.
