Страница 29 номер 14, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число: 1) 12; 2) 24; 3) 120?
Записи отличаются только порядком множителей, но перестановка двоек между собой запись не меняет. Если двойки пометить, каждая запись посчитается столько раз, сколькими способами переставляются двойки, поэтому число перестановок всех множителей делим на число перестановок двоек.
1) \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) — три множителя, из них две двойки, поэтому записей \[\frac{P_{3}}{P_{2}} = \frac{6}{2} = 3.\] Это записи \(2 \cdot 2 \cdot 3\), \(2 \cdot 3 \cdot 2\), \(3 \cdot 2 \cdot 2\) — множитель 3 стоит на одном из трёх мест.
2) \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) — четыре множителя, из них три двойки, поэтому записей \[\frac{P_{4}}{P_{3}} = \frac{24}{6} = 4.\] Это записи \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2\), \(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2\), \(3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) — множитель 3 стоит на одном из четырёх мест.
3) \(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\) — пять множителей, из них три двойки, поэтому записей \[\frac{P_{5}}{P_{3}} = \frac{120}{6} = 20.\] Проверка: место множителя 3 выбираем пятью способами, при каждом из них место множителя 5 — четырьмя, остальные три места занимают двойки; \(5 \cdot 4 = 20\).
Ответ: 1) 3 способами; 2) 4 способами; 3) 20 способами.
Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число: 1) 12; 2) 24; 3) 120?
Записи числа в виде произведения простых множителей отличаются только порядком множителей. Но среди множителей каждого из этих чисел есть одинаковые — двойки, а если поменять местами две двойки, запись не изменится. Поэтому записей меньше, чем перестановок из стольких же различных элементов.
Будем на время различать двойки — пометим их номерами. Тогда все множители разные, и записей с пометками столько, сколько перестановок из всех множителей. Перестановка помеченных двоек между собой меняет только пометки, а запись числа остаётся той же. Значит, каждая запись посчитана столько раз, сколькими способами можно переставить двойки, и число перестановок всех множителей нужно разделить на число перестановок двоек.
1) \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) — три множителя, из них две двойки, поэтому записей \[\frac{P_{3}}{P_{2}} = \frac{6}{2} = 3.\] Это записи \(2 \cdot 2 \cdot 3\), \(2 \cdot 3 \cdot 2\), \(3 \cdot 2 \cdot 2\) — множитель 3 стоит на одном из трёх мест.
2) \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) — четыре множителя, из них три двойки, поэтому записей \[\frac{P_{4}}{P_{3}} = \frac{24}{6} = 4.\] Это записи \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2\), \(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2\), \(3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) — множитель 3 стоит на одном из четырёх мест.
3) \(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\) — пять множителей, из них три двойки, поэтому записей \[\frac{P_{5}}{P_{3}} = \frac{120}{6} = 20.\] Проверка: место множителя 3 можно выбрать пятью способами, при каждом из них место множителя 5 — четырьмя способами, а остальные три места занимают двойки; по правилу произведения \(5 \cdot 4 = 20\).
Ответ: 1) 3 способами; 2) 4 способами; 3) 20 способами.
