Страница 29 номер 11, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Сколько различных шестизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если: 1) число должно начинаться с 56; 2) цифры 5 и 6 в числе должны стоять рядом?
Цифры не повторяются, а данных цифр шесть, поэтому каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 используется ровно один раз.
1) Первые две цифры — 5 и 6, на остальных четырёх местах — цифры 1, 2, 3, 4 в любом порядке: \(P_{4} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) числа.
2) Стоящие рядом цифры 5 и 6 считаем одним элементом; тогда переставляются пять элементов — цифры 1, 2, 3, 4 и эта пара: \(P_{5} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\) перестановок.
\(P_{5} \cdot 2 = 120 \cdot 2 = 240\) — чисел: в каждой перестановке пару можно записать как 56 или 65.
Ответ: 1) 24 числа; 2) 240 чисел.
Сколько различных шестизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если: 1) число должно начинаться с 56; 2) цифры 5 и 6 в числе должны стоять рядом?
Число шестизначное, цифры в нём не повторяются, а данных цифр шесть, поэтому каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 используется ровно один раз.
1) Число начинается с 56: первые две цифры — 5 и 6 — стоят на своих местах, а на остальных четырёх местах стоят цифры 1, 2, 3, 4 в любом порядке. Чисел столько, сколько перестановок из четырёх элементов: \[P_{4} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24.\]
2) Условно будем считать стоящие рядом цифры 5 и 6 одним элементом. Тогда переставляются пять элементов — цифры 1, 2, 3, 4 и эта пара, и число таких перестановок \[P_{5} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120.\] В каждой такой перестановке цифры пары можно записать в двух порядках — 56 или 65, поэтому чисел в 2 раза больше: \[P_{5} \cdot 2 = 120 \cdot 2 = 240.\]
Ответ: 1) 24 числа; 2) 240 чисел.
