Страница 24 номер 14, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
При игре в крестики-нолики на поле размером \(3 \times 3\) клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход: ставит крестик в любую из клеток; вторым ходом второй неопытный игрок ставит нолик в любую из оставшихся свободных клеток, затем 3-м ходом первый игрок ставит крестик и т. д. Сколько существует вариантов заполненных клеток после: 1) двух ходов; 2) трёх ходов; 3) четырёх ходов?
Вариант заполнения — то, какие клетки заняты крестиками и какие ноликами. Крестики одинаковы, поэтому важно только, какие клетки они занимают, а не в каком порядке их поставили; так же и с ноликами.
1) После двух ходов — один крестик и один нолик: крестик — в любой из 9 клеток, при каждом его положении нолик — в любой из 8 оставшихся. Вариантов \(9 \cdot 8 = 72\).
2) После трёх ходов — два крестика и один нолик. Клетку нолика можно выбрать 9 способами, при каждом её выборе крестики занимают пару из 8 оставшихся клеток, порядок клеток в паре не важен.
\(\frac{(8 - 1) \cdot 8}{2} = 28\) — пар клеток: столько рёбер у полного графа с 8 вершинами.
\(9 \cdot 28 = 252\) — вариантов.
3) После четырёх ходов — два крестика и два нолика.
\(\frac{(9 - 1) \cdot 9}{2} = 36\) — пар клеток для крестиков из 9 клеток: столько рёбер у полного графа с 9 вершинами.
\(\frac{(7 - 1) \cdot 7}{2} = 21\) — пар клеток для ноликов: при каждом выборе пары крестиков остаются 7 клеток.
\(36 \cdot 21 = 756\) — вариантов.
В ответе задачника — 504 и 3024: это числа последовательностей ходов, в них каждое заполнение поля посчитано 2 раза после трёх ходов (два крестика можно поставить в двух порядках) и \(2 \cdot 2 = 4\) раза после четырёх (так же и два нолика): \(504 : 2 = 252\), \(3024 : 4 = 756\).
Ответ: 1) 72 варианта; 2) 252 варианта; 3) 756 вариантов.
При игре в крестики-нолики на поле размером \(3 \times 3\) клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход: ставит крестик в любую из клеток; вторым ходом второй неопытный игрок ставит нолик в любую из оставшихся свободных клеток, затем 3-м ходом первый игрок ставит крестик и т. д. Сколько существует вариантов заполненных клеток после: 1) двух ходов; 2) трёх ходов; 3) четырёх ходов?
Вариант заполнения — то, какие клетки заняты крестиками и какие ноликами. Крестики одинаковы, поэтому важно только, какие клетки они занимают, а не в каком порядке их поставили; так же и с ноликами.
1) После двух ходов на поле один крестик и один нолик. Крестик может стоять в любой из 9 клеток, при каждом его положении нолик — в любой из 8 оставшихся. Согласно правилу произведения, вариантов \(9 \cdot 8 = 72\).
2) После трёх ходов на поле два крестика и один нолик. Клетку нолика можно выбрать 9 способами. При каждом её выборе крестики занимают пару клеток из 8 оставшихся, и порядок клеток в паре не важен. Если считать эти 8 клеток вершинами полного графа, то каждая пара клеток — его ребро, поэтому пар \(\frac{(8 - 1) \cdot 8}{2} = 28\). Согласно правилу произведения, вариантов \(9 \cdot 28 = 252\).
3) После четырёх ходов на поле два крестика и два нолика. Пар клеток для крестиков из 9 клеток столько же, сколько рёбер у полного графа с 9 вершинами: \(\frac{(9 - 1) \cdot 9}{2} = 36\). При каждом выборе этой пары для ноликов остаются 7 клеток, пар из них \(\frac{(7 - 1) \cdot 7}{2} = 21\). Согласно правилу произведения, вариантов \(36 \cdot 21 = 756\).
В ответе задачника — 504 и 3024: это числа последовательностей ходов, в них каждое заполнение поля посчитано 2 раза после трёх ходов (два крестика можно поставить в двух порядках) и \(2 \cdot 2 = 4\) раза после четырёх (так же и два нолика): \(504 : 2 = 252\), \(3024 : 4 = 756\).
Ответ: 1) 72 варианта; 2) 252 варианта; 3) 756 вариантов.
