Страница 24 номер 12, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из трёх видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить?
Салат определяется тем, какие три вида овощей в него входят; порядок выбора видов значения не имеет.
\(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) — упорядоченных троек видов: первый вид — любой из шести, при каждом выборе первого второй — любой из пяти оставшихся, при каждом выборе первых двух третий — любой из четырёх оставшихся.
\(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) — упорядоченных троек из одних и тех же трёх видов: первым — любой из трёх, вторым — любой из двух оставшихся, третьим — последний. Значит, каждый салат среди 120 упорядоченных троек встречается 6 раз.
\(120 : 6 = 20\) — различных салатов.
Перебор по системе (виды — номера от 1 до 6): номера каждого салата — в порядке возрастания, салаты — по наименьшему номеру, затем по среднему; наименьший номер — от 1 до 4, за ним идут ещё два больших.
С наименьшим номером 1 — 10 салатов: 1, 2, 3; 1, 2, 4; 1, 2, 5; 1, 2, 6; 1, 3, 4; 1, 3, 5; 1, 3, 6; 1, 4, 5; 1, 4, 6; 1, 5, 6.
С наименьшим номером 2 — 6 салатов: 2, 3, 4; 2, 3, 5; 2, 3, 6; 2, 4, 5; 2, 4, 6; 2, 5, 6.
С наименьшим номером 3 — 3 салата: 3, 4, 5; 3, 4, 6; 3, 5, 6.
С наименьшим номером 4 — 1 салат: 4, 5, 6.
Всего \(10 + 6 + 3 + 1 = 20\) салатов.
В ответе задачника — 120: это число упорядоченных троек, в нём каждый салат посчитан \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) раз — столькими способами можно упорядочить три вида овощей (\(120 : 6 = 20\)).
Ответ: 20 вариантов салатов.
Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из трёх видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить?
Салат определяется тем, какие три вида овощей в него входят; порядок, в котором выбраны виды, значения не имеет. Пронумеруем виды овощей числами от 1 до 6.
Если учитывать порядок выбора, получаются упорядоченные тройки видов: первый выбранный вид, второй и третий. Первым может быть любой из шести видов, при каждом выборе первого вторым — любой из пяти оставшихся, при каждом выборе первых двух третьим — любой из четырёх оставшихся. Согласно правилу произведения, упорядоченных троек \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\).
Одни и те же три вида овощей дают \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) упорядоченных троек: первым из них может стоять любой из трёх видов, вторым — любой из двух оставшихся, третьим — последний. Значит, каждый салат среди 120 упорядоченных троек встречается 6 раз, и различных салатов \(120 : 6 = 20\).
Проверим число перебором по системе: номера видов каждого салата запишем в порядке возрастания, салаты переберём по наименьшему номеру, затем по среднему. Наименьший номер — от 1 до 4: за ним должны идти ещё два больших номера.
С наименьшим номером 1 — 10 салатов: 1, 2, 3; 1, 2, 4; 1, 2, 5; 1, 2, 6; 1, 3, 4; 1, 3, 5; 1, 3, 6; 1, 4, 5; 1, 4, 6; 1, 5, 6.
С наименьшим номером 2 — 6 салатов: 2, 3, 4; 2, 3, 5; 2, 3, 6; 2, 4, 5; 2, 4, 6; 2, 5, 6.
С наименьшим номером 3 — 3 салата: 3, 4, 5; 3, 4, 6; 3, 5, 6.
С наименьшим номером 4 — 1 салат: 4, 5, 6.
Всего \(10 + 6 + 3 + 1 = 20\) салатов.
В ответе задачника — 120: это число упорядоченных троек, в нём каждый салат посчитан \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) раз — столькими способами можно упорядочить три вида овощей (\(120 : 6 = 20\)).
Ответ: 20 вариантов салатов.
