Страница 23 номер 1, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Упражнения 1—6 выполнить с помощью графов. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было: 1) трое; 2) четверо; 3) пятеро?
Друзья А, Б, В, Г, Д — вершины графа, рукопожатия — рёбра. Каждый пожал руку каждому, и каждая пара друзей обменялась одним рукопожатием, поэтому граф полный, а рукопожатий столько же, сколько у него рёбер.
Рёбер у полного графа с \(n\) вершинами \(\frac{(n - 1) \cdot n}{2}\): из каждой из \(n\) вершин выходят \(n - 1\) рёбер, а в произведении \((n - 1) \cdot n\) каждое ребро учтено дважды.
1) Рёбер 3: АБ, АВ, БВ. Значит, рукопожатий было 3. Проверка: \(\frac{(3 - 1) \cdot 3}{2} = 3\).
2) Рёбер 6: АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ. Значит, рукопожатий было 6. Проверка: \(\frac{(4 - 1) \cdot 4}{2} = 6\).
3) Рёбер 10: АБ, АВ, АГ, АД, БВ, БГ, БД, ВГ, ВД, ГД. Значит, рукопожатий было 10. Проверка: \(\frac{(5 - 1) \cdot 5}{2} = 10\).
Ответ: 1) 3 рукопожатия; 2) 6 рукопожатий; 3) 10 рукопожатий.
Упражнения 1—6 выполнить с помощью графов. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было: 1) трое; 2) четверо; 3) пятеро?
Каждого друга изобразим вершиной графа, а каждое рукопожатие — ребром: ребро соединяет двух друзей, пожавших друг другу руку. Каждый пожал руку каждому, причём каждая пара друзей обменялась одним рукопожатием, поэтому граф полный (каждая вершина соединена с каждой), а рукопожатий столько же, сколько у него рёбер. Друзей обозначим буквами А, Б, В, Г, Д.
Число рёбер проверим подсчётом: из каждой из \(n\) вершин полного графа выходят \(n - 1\) рёбер, а в произведении \((n - 1) \cdot n\) каждое ребро учтено дважды — от обоих его концов, поэтому рёбер \(\frac{(n - 1) \cdot n}{2}\).
1) Полный граф с тремя вершинами А, Б, В имеет 3 ребра: АБ, АВ, БВ. Значит, рукопожатий было 3. Проверка: \(\frac{(3 - 1) \cdot 3}{2} = 3\).
2) Полный граф с четырьмя вершинами А, Б, В, Г имеет 6 рёбер: АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ. Значит, рукопожатий было 6. Проверка: \(\frac{(4 - 1) \cdot 4}{2} = 6\).
3) Полный граф с пятью вершинами А, Б, В, Г, Д имеет 10 рёбер: АБ, АВ, АГ, АД, БВ, БГ, БД, ВГ, ВД, ГД. Значит, рукопожатий было 10. Проверка: \(\frac{(5 - 1) \cdot 5}{2} = 10\).
Ответ: 1) 3 рукопожатия; 2) 6 рукопожатий; 3) 10 рукопожатий.
