Страница 107 номер 2, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Для определения соотношений размеров рабочих халатов для женщин, работающих на различных предприятиях города, выявили размеры у 49 случайным образом выбранных женщин крупнейшего комбината и составили таблицу. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 48 & 48 & 50 & 54 & 48 & 48 & 54 \\ \hline 50 & 46 & 50 & 50 & 50 & 48 & 52 \\ \hline 52 & 48 & 48 & 52 & 54 & 46 & 58 \\ \hline 46 & 52 & 56 & 50 & 52 & 50 & 50 \\ \hline 52 & 50 & 48 & 50 & 50 & 44 & 52 \\ \hline 48 & 42 & 54 & 46 & 56 & 56 & 48 \\ \hline 44 & 48 & 46 & 48 & 54 & 54 & 46 \\ \hline \end{array}\] 1) Сколько халатов каждого размера следует сшить, если планируется шить по одному халату для каждой из работающих в производстве города 73 500 женщин? 2) На основании данных таблицы построить полигон частот размеров женской одежды. 3) Найти моду, медиану, среднее и размах выборки.
Таблица распределения размеров \(X\) по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 42 & 44 & 46 & 48 & 50 & 52 & 54 & 56 & 58 \\ \hline M & 1 & 2 & 6 & 12 & 11 & 7 & 6 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 2 + 6 + 12 + 11 + 7 + 6 + 3 + 1 = 49\) — объём выборки \(N = 49\).
1) Выборку из 49 женщин считаем репрезентативной: у всех \(\overline{\overline{S}} = 73\,500\) женщин размеры распределены в тех же пропорциях, что и в выборке, поэтому число халатов каждого размера \(S_{i} = \frac{\overline{\overline{S}}}{N} \cdot M_{i}\), где \(\frac{\overline{\overline{S}}}{N} = \frac{73\,500}{49} = 1500\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X & M & S = 1500 \cdot M \\ \hline 42 & 1 & 1500 \\ \hline 44 & 2 & 3000 \\ \hline 46 & 6 & 9000 \\ \hline 48 & 12 & 18\,000 \\ \hline 50 & 11 & 16\,500 \\ \hline 52 & 7 & 10\,500 \\ \hline 54 & 6 & 9000 \\ \hline 56 & 3 & 4500 \\ \hline 58 & 1 & 1500 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(1500 + 3000 + 9000 + 18\,000 + 16\,500 + 10\,500 + 9000 + 4500 + 1500 = 73\,500\) — халатов столько же, сколько женщин.
2) Полигон частот размеров:
3) Мода \(Mo = 48\): у этого размера наибольшая частота 12.
Объём выборки \(N = 49\) — нечётное число, поэтому медиана — 25-й член упорядоченного ряда размеров: размеров, меньших 48, в ряду \(1 + 2 + 6 = 9\), размер 48 занимает места с 10-го по 21-е, размер 50 — с 22-го по 32-е, значит, \(Me = 50\).
Сумма произведений размеров на их частоты \(42 \cdot 1 + 44 \cdot 2 + 46 \cdot 6 + 48 \cdot 12 + 50 \cdot 11 + 52 \cdot 7 + 54 \cdot 6 + 56 \cdot 3 + 58 \cdot 1 = 2446\), поэтому среднее значение \(\overline{X} = \frac{2446}{49} \approx 49{,}9\).
Размах \(R = 58 - 42 = 16\).
Ответ: 1) халатов размеров 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58 следует сшить соответственно \(1500\), \(3000\), \(9000\), \(18\,000\), \(16\,500\), \(10\,500\), \(9000\), \(4500\), \(1500\); 3) \(Mo = 48\), \(Me = 50\), \(\overline{X} = \frac{2446}{49} \approx 49{,}9\), \(R = 16\).
Для определения соотношений размеров рабочих халатов для женщин, работающих на различных предприятиях города, выявили размеры у 49 случайным образом выбранных женщин крупнейшего комбината и составили таблицу. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 48 & 48 & 50 & 54 & 48 & 48 & 54 \\ \hline 50 & 46 & 50 & 50 & 50 & 48 & 52 \\ \hline 52 & 48 & 48 & 52 & 54 & 46 & 58 \\ \hline 46 & 52 & 56 & 50 & 52 & 50 & 50 \\ \hline 52 & 50 & 48 & 50 & 50 & 44 & 52 \\ \hline 48 & 42 & 54 & 46 & 56 & 56 & 48 \\ \hline 44 & 48 & 46 & 48 & 54 & 54 & 46 \\ \hline \end{array}\] 1) Сколько халатов каждого размера следует сшить, если планируется шить по одному халату для каждой из работающих в производстве города 73 500 женщин? 2) На основании данных таблицы построить полигон частот размеров женской одежды. 3) Найти моду, медиану, среднее и размах выборки.
Подсчитаем, сколько раз в таблице условия встречается каждый размер, и составим таблицу распределения размеров \(X\) по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 42 & 44 & 46 & 48 & 50 & 52 & 54 & 56 & 58 \\ \hline M & 1 & 2 & 6 & 12 & 11 & 7 & 6 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 2 + 6 + 12 + 11 + 7 + 6 + 3 + 1 = 49\) — объём выборки \(N = 49\).
1) Будем считать выборку из 49 женщин репрезентативной. Тогда у всех \(\overline{\overline{S}} = 73\,500\) женщин размеры распределены в тех же пропорциях, что и в выборке, и число халатов каждого размера \(S_{i} = \frac{\overline{\overline{S}}}{N} \cdot M_{i}\), где \(\frac{\overline{\overline{S}}}{N} = \frac{73\,500}{49} = 1500\). Результаты расчётов запишем в таблицу.
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X & M & S = 1500 \cdot M \\ \hline 42 & 1 & 1500 \\ \hline 44 & 2 & 3000 \\ \hline 46 & 6 & 9000 \\ \hline 48 & 12 & 18\,000 \\ \hline 50 & 11 & 16\,500 \\ \hline 52 & 7 & 10\,500 \\ \hline 54 & 6 & 9000 \\ \hline 56 & 3 & 4500 \\ \hline 58 & 1 & 1500 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(1500 + 3000 + 9000 + 18\,000 + 16\,500 + 10\,500 + 9000 + 4500 + 1500 = 73\,500\) — халатов столько же, сколько женщин.
2) Построим полигон частот размеров: отметим точки \((X; M)\) по таблице частот и последовательно соединим их отрезками.
3) Мода \(Mo = 48\): у этого размера наибольшая частота 12. Объём выборки \(N = 49\) — нечётное число, поэтому медиана — 25-й член упорядоченного ряда размеров: размеров, меньших 48, в ряду \(1 + 2 + 6 = 9\), размер 48 занимает места с 10-го по 21-е, размер 50 — с 22-го по 32-е, значит, \(Me = 50\).
Сумма произведений размеров на их частоты \(42 \cdot 1 + 44 \cdot 2 + 46 \cdot 6 + 48 \cdot 12 + 50 \cdot 11 + 52 \cdot 7 + 54 \cdot 6 + 56 \cdot 3 + 58 \cdot 1 = 2446\), поэтому среднее значение \(\overline{X} = \frac{2446}{49} \approx 49{,}9\). Размах \(R = 58 - 42 = 16\).
Ответ: 1) халатов размеров 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58 следует сшить соответственно \(1500\), \(3000\), \(9000\), \(18\,000\), \(16\,500\), \(10\,500\), \(9000\), \(4500\), \(1500\); 3) \(Mo = 48\), \(Me = 50\), \(\overline{X} = \frac{2446}{49} \approx 49{,}9\), \(R = 16\).
