Страница 107 номер 1, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
На стол бросают два игральных октаэдра (рис. 75), грани каждого из которых занумерованы числами от 1 до 8. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины \(X\) — суммы очков на верхних гранях октаэдров.
Октаэдры правильные, поэтому на верхней грани каждого из них с равными шансами оказывается любое число от 1 до 8. Исход бросания — упорядоченная пара чисел: число на первом октаэдре и число на втором; по правилу произведения равновозможных исходов \(n = 8 \cdot 8 = 64\).
Таблица сумм очков: в первом столбце — число на первом октаэдре, в первой строке — число на втором, в клетке на их пересечении — сумма.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ \hline 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ \hline 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Величина \(X\) принимает значения от 2 до 16. Одинаковые суммы стоят в таблице на одной диагонали; число благоприятствующих исходов \(m\) для каждой суммы: \(m_{2} = m_{16} = 1\), \(m_{3} = m_{15} = 2\), \(m_{4} = m_{14} = 3\), \(m_{5} = m_{13} = 4\), \(m_{6} = m_{12} = 5\), \(m_{7} = m_{11} = 6\), \(m_{8} = m_{10} = 7\), \(m_{9} = 8\).
Проверка: \(2 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + 8 = 64\) — учтены все исходы.
Вероятность каждого значения \(P = \frac{m}{n} = \frac{m}{64}\). Таблица распределения значений величины \(X\) по вероятностям (дроби сокращены):
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{64} & \dfrac{1}{32} & \dfrac{3}{64} & \dfrac{1}{16} & \dfrac{5}{64} & \dfrac{3}{32} & \dfrac{7}{64} & \dfrac{1}{8} \st \\ \hline \end{array}\] \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \st \\ \hline P & \dfrac{7}{64} & \dfrac{3}{32} & \dfrac{5}{64} & \dfrac{1}{16} & \dfrac{3}{64} & \dfrac{1}{32} & \dfrac{1}{64} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма вероятностей всех значений \(\Sigma P = \frac{64}{64} = 1\).
Ответ: значениям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 величины \(X\) соответствуют вероятности \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{3}{64}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{5}{64}\), \(\frac{3}{32}\), \(\frac{7}{64}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{7}{64}\), \(\frac{3}{32}\), \(\frac{5}{64}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{3}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{64}\).
На стол бросают два игральных октаэдра (рис. 75), грани каждого из которых занумерованы числами от 1 до 8. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины \(X\) — суммы очков на верхних гранях октаэдров.
Игральные октаэдры правильные, поэтому на верхней грани каждого из них с равными шансами оказывается любое число от 1 до 8. Исход бросания — упорядоченная пара чисел: число на первом октаэдре и число на втором. Первое число может быть любым из 8, и при каждом из них второе — тоже любым из 8, поэтому по правилу произведения общее число равновозможных исходов \(n = 8 \cdot 8 = 64\).
Составим таблицу сумм очков: в первом столбце — число на первом октаэдре, в первой строке — число на втором, в клетке на их пересечении — сумма.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ \hline 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ \hline 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Величина \(X\) принимает значения от 2 до 16. Одинаковые суммы стоят в таблице на одной диагонали; по таблице для каждой суммы найдём число благоприятствующих ей исходов \(m\): \(m_{2} = m_{16} = 1\), \(m_{3} = m_{15} = 2\), \(m_{4} = m_{14} = 3\), \(m_{5} = m_{13} = 4\), \(m_{6} = m_{12} = 5\), \(m_{7} = m_{11} = 6\), \(m_{8} = m_{10} = 7\), \(m_{9} = 8\).
Проверка: \(2 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + 8 = 64\) — учтены все исходы.
Вероятность каждого значения \(P = \frac{m}{n} = \frac{m}{64}\). Сократив дроби, получим таблицу распределения значений величины \(X\) по вероятностям:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{64} & \dfrac{1}{32} & \dfrac{3}{64} & \dfrac{1}{16} & \dfrac{5}{64} & \dfrac{3}{32} & \dfrac{7}{64} & \dfrac{1}{8} \st \\ \hline \end{array}\] \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \st \\ \hline P & \dfrac{7}{64} & \dfrac{3}{32} & \dfrac{5}{64} & \dfrac{1}{16} & \dfrac{3}{64} & \dfrac{1}{32} & \dfrac{1}{64} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма вероятностей всех значений \(\Sigma P = \frac{64}{64} = 1\).
Ответ: значениям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 величины \(X\) соответствуют вероятности \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{3}{64}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{5}{64}\), \(\frac{3}{32}\), \(\frac{7}{64}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{7}{64}\), \(\frac{3}{32}\), \(\frac{5}{64}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{3}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{64}\).
