Страница 107 номер 3, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Среди трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньшее рассеяние около своего среднего. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 1 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline M & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Z & -5 & -4 & -2 & 3 \\ \hline M & 1 & 3 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Меньшее рассеяние значений около среднего — у той совокупности, у которой меньше дисперсия. Значения повторяются, поэтому и сумму произведений значений на частоты, и сумму произведений квадратов отклонений на частоты делим на \(\Sigma M\).
Величина \(X\), число всех значений \(\Sigma M = 2 + 1 + 3 + 2 = 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 1 & 3 & 2 \\ \hline X \cdot M & 2 & 2 & 12 & 12 \\ \hline X - \overline{X} & -2{,}5 & -1{,}5 & 0{,}5 & 2{,}5 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 6{,}25 & 2{,}25 & 0{,}25 & 6{,}25 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 12{,}5 & 2{,}25 & 0{,}75 & 12{,}5 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{2 + 2 + 12 + 12}{8} = \frac{28}{8} = 3{,}5; \\ D_{X} &= \frac{12{,}5 + 2{,}25 + 0{,}75 + 12{,}5}{8} = \frac{28}{8} = 3{,}5. \end{aligned}\]
Величина \(Y\), число всех значений \(\Sigma M = 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline M & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline Y \cdot M & -4 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ \hline Y - \overline{Y} & -2{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1{,}5 & 2{,}5 \\ \hline (Y - \overline{Y})^{2} & 6{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 & 2{,}25 & 6{,}25 \\ \hline (Y - \overline{Y})^{2} \cdot M & 12{,}5 & 0{,}75 & 0{,}5 & 4{,}5 & 6{,}25 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{Y} &= \frac{-4 + 0 + 2 + 4 + 3}{10} = \frac{5}{10} = 0{,}5; \\ D_{Y} &= \frac{12{,}5 + 0{,}75 + 0{,}5 + 4{,}5 + 6{,}25}{10} = \frac{24{,}5}{10} = 2{,}45. \end{aligned}\]
Величина \(Z\), число всех значений \(\Sigma M = 1 + 3 + 3 + 1 = 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Z & -5 & -4 & -2 & 3 \\ \hline M & 1 & 3 & 3 & 1 \\ \hline Z \cdot M & -5 & -12 & -6 & 3 \\ \hline Z - \overline{Z} & -2{,}5 & -1{,}5 & 0{,}5 & 5{,}5 \\ \hline (Z - \overline{Z})^{2} & 6{,}25 & 2{,}25 & 0{,}25 & 30{,}25 \\ \hline (Z - \overline{Z})^{2} \cdot M & 6{,}25 & 6{,}75 & 0{,}75 & 30{,}25 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{Z} &= \frac{-5 - 12 - 6 + 3}{8} = \frac{-20}{8} = -2{,}5; \\ D_{Z} &= \frac{6{,}25 + 6{,}75 + 0{,}75 + 30{,}25}{8} = \frac{44}{8} = 5{,}5. \end{aligned}\]
Дисперсия \(D_{Y} = 2{,}45\) меньше, чем \(D_{X} = 3{,}5\) и \(D_{Z} = 5{,}5\), значит, меньшее рассеяние около своего среднего имеют значения величины \(Y\).
Ответ: совокупность значений величины \(Y\): её дисперсия \(D_{Y} = 2{,}45\) меньше, чем \(D_{X} = 3{,}5\) и \(D_{Z} = 5{,}5\).
Среди трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньшее рассеяние около своего среднего. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 1 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline M & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Z & -5 & -4 & -2 & 3 \\ \hline M & 1 & 3 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Меньшее рассеяние значений около среднего — у той совокупности, у которой меньше дисперсия. Значения величин повторяются, поэтому среднее находим по таблице частот: сумму произведений значений на их частоты делим на сумму частот \(\Sigma M\). Дисперсия — сумма произведений квадратов отклонений от среднего на частоты, делённая на \(\Sigma M\). Результаты последовательных вычислений будем заносить в таблицы.
Величина \(X\), число всех значений \(\Sigma M = 2 + 1 + 3 + 2 = 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 1 & 3 & 2 \\ \hline X \cdot M & 2 & 2 & 12 & 12 \\ \hline X - \overline{X} & -2{,}5 & -1{,}5 & 0{,}5 & 2{,}5 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 6{,}25 & 2{,}25 & 0{,}25 & 6{,}25 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 12{,}5 & 2{,}25 & 0{,}75 & 12{,}5 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{2 + 2 + 12 + 12}{8} = \frac{28}{8} = 3{,}5; \\ D_{X} &= \frac{12{,}5 + 2{,}25 + 0{,}75 + 12{,}5}{8} = \frac{28}{8} = 3{,}5. \end{aligned}\]
Величина \(Y\), число всех значений \(\Sigma M = 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline M & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline Y \cdot M & -4 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ \hline Y - \overline{Y} & -2{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1{,}5 & 2{,}5 \\ \hline (Y - \overline{Y})^{2} & 6{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 & 2{,}25 & 6{,}25 \\ \hline (Y - \overline{Y})^{2} \cdot M & 12{,}5 & 0{,}75 & 0{,}5 & 4{,}5 & 6{,}25 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{Y} &= \frac{-4 + 0 + 2 + 4 + 3}{10} = \frac{5}{10} = 0{,}5; \\ D_{Y} &= \frac{12{,}5 + 0{,}75 + 0{,}5 + 4{,}5 + 6{,}25}{10} = \frac{24{,}5}{10} = 2{,}45. \end{aligned}\]
Величина \(Z\), число всех значений \(\Sigma M = 1 + 3 + 3 + 1 = 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Z & -5 & -4 & -2 & 3 \\ \hline M & 1 & 3 & 3 & 1 \\ \hline Z \cdot M & -5 & -12 & -6 & 3 \\ \hline Z - \overline{Z} & -2{,}5 & -1{,}5 & 0{,}5 & 5{,}5 \\ \hline (Z - \overline{Z})^{2} & 6{,}25 & 2{,}25 & 0{,}25 & 30{,}25 \\ \hline (Z - \overline{Z})^{2} \cdot M & 6{,}25 & 6{,}75 & 0{,}75 & 30{,}25 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{Z} &= \frac{-5 - 12 - 6 + 3}{8} = \frac{-20}{8} = -2{,}5; \\ D_{Z} &= \frac{6{,}25 + 6{,}75 + 0{,}75 + 30{,}25}{8} = \frac{44}{8} = 5{,}5. \end{aligned}\]
Дисперсия \(D_{Y} = 2{,}45\) меньше, чем \(D_{X} = 3{,}5\) и \(D_{Z} = 5{,}5\), значит, меньшее рассеяние около своего среднего имеют значения величины \(Y\).
Ответ: совокупность значений величины \(Y\): её дисперсия \(D_{Y} = 2{,}45\) меньше, чем \(D_{X} = 3{,}5\) и \(D_{Z} = 5{,}5\).
