Страница 106 номер 5, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Используя данные таблиц, приведённых в задаче из текста § 18, проверить справедливость правила трёх сигм. Таблицы задачи из текста § 18: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 38 & 40 & 42 & 44 & 46 & 48 & 50 \\ \hline M & 18 & 79 & 215 & 375 & 213 & 81 & 19 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 \\ \hline M & 6 & 48 & 139 & 309 & 305 & 141 & 46 & 6 \\ \hline \end{array}\]
В таблицах условия — размеры одежды \(X\) и размеры обуви \(Y\) тысячи девятиклассниц и частоты \(M\) этих размеров. Правило трёх сигм относится к нормально распределённой величине. В обеих таблицах частоты растут к наибольшей в середине ряда размеров и от неё убывают в обе стороны почти симметрично: у размеров одежды наибольшая частота 375 (размер 44), по обе стороны от неё — 215 и 213, 79 и 81, 18 и 19; у размеров обуви две наибольшие частоты — 309 и 305 (размеры 36 и 37), дальше — 139 и 141, 48 и 46, 6 и 6. Значит, распределения обеих величин близки к нормальному и правило к ним применимо.
Размеры одежды. Число значений \(\Sigma M = 18 + 79 + 215 + 375 + 213 + 81 + 19 = 1000\), сумма произведений размеров на частоты \(\Sigma(X \cdot M) = 38 \cdot 18 + 40 \cdot 79 + 42 \cdot 215 + 44 \cdot 375 + 46 \cdot 213 + 48 \cdot 81 + 50 \cdot 19 = 44\,010\), поэтому \(\overline{X} = \frac{44\,010}{1000} = 44{,}01\); примем \(\overline{X} \approx 44\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 38 & 40 & 42 & 44 & 46 & 48 & 50 \\ \hline M & 18 & 79 & 215 & 375 & 213 & 81 & 19 \\ \hline X - \overline{X} & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 36 & 16 & 4 & 0 & 4 & 16 & 36 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 648 & 1264 & 860 & 0 & 852 & 1296 & 684 \\ \hline \end{array}\]
Сумма чисел последней строки \(648 + 1264 + 860 + 0 + 852 + 1296 + 684 = 5604\), поэтому \[\begin{aligned} D_{X} &= \frac{5604}{1000} = 5{,}604; \\ \sigma_{X} &= \sqrt{5{,}604} \approx 2{,}4. \end{aligned}\]
В пределах \(\sigma_{X}\) от среднего — от \(44 - 2{,}4 = 41{,}6\) до \(44 + 2{,}4 = 46{,}4\) — лежат размеры 42, 44 и 46: \(215 + 375 + 213 = 803\) значения из 1000, т. е. \(80{,}3\,\%\).
В пределах \(2\sigma_{X} \approx 2 \cdot 2{,}4 = 4{,}8\) — от \(44 - 4{,}8 = 39{,}2\) до \(44 + 4{,}8 = 48{,}8\) — лежат размеры от 40 до 48: \(79 + 803 + 81 = 963\) значения, т. е. \(96{,}3\,\%\).
В пределах \(3\sigma_{X} \approx 3 \cdot 2{,}4 = 7{,}2\) — от \(44 - 7{,}2 = 36{,}8\) до \(44 + 7{,}2 = 51{,}2\) — лежат все размеры от 38 до 50, т. е. все 1000 значений (\(100\,\%\)).
Размеры обуви. Число значений \(\Sigma M = 6 + 48 + 139 + 309 + 305 + 141 + 46 + 6 = 1000\), сумма произведений размеров на частоты \(\Sigma(Y \cdot M) = 33 \cdot 6 + 34 \cdot 48 + 35 \cdot 139 + 36 \cdot 309 + 37 \cdot 305 + 38 \cdot 141 + 39 \cdot 46 + 40 \cdot 6 = 36\,496\), поэтому \(\overline{Y} = \frac{36\,496}{1000} = 36{,}496\); примем \(\overline{Y} \approx 36{,}5\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Y & M & Y - \overline{Y} & (Y - \overline{Y})^{2} & (Y - \overline{Y})^{2} \cdot M \\ \hline 33 & 6 & -3{,}5 & 12{,}25 & 73{,}5 \\ \hline 34 & 48 & -2{,}5 & 6{,}25 & 300 \\ \hline 35 & 139 & -1{,}5 & 2{,}25 & 312{,}75 \\ \hline 36 & 309 & -0{,}5 & 0{,}25 & 77{,}25 \\ \hline 37 & 305 & 0{,}5 & 0{,}25 & 76{,}25 \\ \hline 38 & 141 & 1{,}5 & 2{,}25 & 317{,}25 \\ \hline 39 & 46 & 2{,}5 & 6{,}25 & 287{,}5 \\ \hline 40 & 6 & 3{,}5 & 12{,}25 & 73{,}5 \\ \hline \text{Сумма} & 1000 & & & 1518 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} D_{Y} &= \frac{1518}{1000} = 1{,}518; \\ \sigma_{Y} &= \sqrt{1{,}518} \approx 1{,}2. \end{aligned}\]
В пределах \(\sigma_{Y}\) от среднего — от \(36{,}5 - 1{,}2 = 35{,}3\) до \(36{,}5 + 1{,}2 = 37{,}7\) — лежат размеры 36 и 37: \(309 + 305 = 614\) значений из 1000, т. е. \(61{,}4\,\%\).
В пределах \(2\sigma_{Y} \approx 2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4\) — от \(36{,}5 - 2{,}4 = 34{,}1\) до \(36{,}5 + 2{,}4 = 38{,}9\) — лежат размеры от 35 до 38: \(139 + 614 + 141 = 894\) значения, т. е. \(89{,}4\,\%\).
В пределах \(3\sigma_{Y} \approx 3 \cdot 1{,}2 = 3{,}6\) — от \(36{,}5 - 3{,}6 = 32{,}9\) до \(36{,}5 + 3{,}6 = 40{,}1\) — лежат все размеры от 33 до 40, т. е. все 1000 значений (\(100\,\%\)).
По правилу трёх сигм в этих трёх полосах должно лежать около \(68\,\%\), \(96\,\%\) и \(99{,}7\,\%\) значений.
Главное утверждение правила подтверждается: все значения обеих величин отклоняются от среднего не больше чем на \(3\sigma\), а доля значений \(X\) в пределах \(2\sigma\) почти равна 96 %. Остальные доли заметно отличаются от 68 % и 96 %: размеры одежды идут с шагом 2, размеры обуви — с шагом 1, это сравнимо с \(\sigma\), поэтому все девятиклассницы с размером у границы полосы попадают в неё или не попадают разом.
Ответ: у размеров одежды (\(\overline{X} \approx 44\), \(\sigma_{X} \approx 2{,}4\)) в пределах \(\sigma\), \(2\sigma\) и \(3\sigma\) от среднего лежат \(80{,}3\,\%\), \(96{,}3\,\%\) и \(100\,\%\) значений, у размеров обуви (\(\overline{Y} \approx 36{,}5\), \(\sigma_{Y} \approx 1{,}2\)) — \(61{,}4\,\%\), \(89{,}4\,\%\) и \(100\,\%\); главное утверждение правила трёх сигм — практически все значения отклоняются от среднего не больше чем на \(3\sigma\) — подтверждается.
Используя данные таблиц, приведённых в задаче из текста § 18, проверить справедливость правила трёх сигм. Таблицы задачи из текста § 18: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 38 & 40 & 42 & 44 & 46 & 48 & 50 \\ \hline M & 18 & 79 & 215 & 375 & 213 & 81 & 19 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 \\ \hline M & 6 & 48 & 139 & 309 & 305 & 141 & 46 & 6 \\ \hline \end{array}\]
В таблицах условия — размеры одежды \(X\) и размеры обуви \(Y\) тысячи девятиклассниц и частоты \(M\) этих размеров. Правило трёх сигм относится к нормально распределённой величине. В обеих таблицах частоты растут к наибольшей в середине ряда размеров и от неё убывают в обе стороны почти симметрично: у размеров одежды наибольшая частота 375 (размер 44), по обе стороны от неё — 215 и 213, 79 и 81, 18 и 19; у размеров обуви две наибольшие частоты — 309 и 305 (размеры 36 и 37), дальше — 139 и 141, 48 и 46, 6 и 6. Значит, распределения обеих величин близки к нормальному и правило к ним применимо.
Размеры одежды. Число значений \(\Sigma M = 18 + 79 + 215 + 375 + 213 + 81 + 19 = 1000\), сумма произведений размеров на частоты \(\Sigma(X \cdot M) = 38 \cdot 18 + 40 \cdot 79 + 42 \cdot 215 + 44 \cdot 375 + 46 \cdot 213 + 48 \cdot 81 + 50 \cdot 19 = 44\,010\), поэтому \(\overline{X} = \frac{44\,010}{1000} = 44{,}01\); примем \(\overline{X} \approx 44\). Отклонения от среднего, их квадраты и произведения квадратов на частоты занесём в таблицу.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 38 & 40 & 42 & 44 & 46 & 48 & 50 \\ \hline M & 18 & 79 & 215 & 375 & 213 & 81 & 19 \\ \hline X - \overline{X} & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 36 & 16 & 4 & 0 & 4 & 16 & 36 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 648 & 1264 & 860 & 0 & 852 & 1296 & 684 \\ \hline \end{array}\]
Сумма чисел последней строки \(648 + 1264 + 860 + 0 + 852 + 1296 + 684 = 5604\), поэтому \[\begin{aligned} D_{X} &= \frac{5604}{1000} = 5{,}604; \\ \sigma_{X} &= \sqrt{5{,}604} \approx 2{,}4. \end{aligned}\]
В пределах \(\sigma_{X}\) от среднего — от \(44 - 2{,}4 = 41{,}6\) до \(44 + 2{,}4 = 46{,}4\) — лежат размеры 42, 44 и 46: \(215 + 375 + 213 = 803\) значения из 1000, т. е. \(80{,}3\,\%\). В пределах \(2\sigma_{X} \approx 2 \cdot 2{,}4 = 4{,}8\) — от \(44 - 4{,}8 = 39{,}2\) до \(44 + 4{,}8 = 48{,}8\) — лежат размеры от 40 до 48: \(79 + 803 + 81 = 963\) значения, т. е. \(96{,}3\,\%\). В пределах \(3\sigma_{X} \approx 3 \cdot 2{,}4 = 7{,}2\) — от \(44 - 7{,}2 = 36{,}8\) до \(44 + 7{,}2 = 51{,}2\) — лежат все размеры от 38 до 50, т. е. все 1000 значений (\(100\,\%\)).
Размеры обуви. Число значений \(\Sigma M = 6 + 48 + 139 + 309 + 305 + 141 + 46 + 6 = 1000\), сумма произведений размеров на частоты \(\Sigma(Y \cdot M) = 33 \cdot 6 + 34 \cdot 48 + 35 \cdot 139 + 36 \cdot 309 + 37 \cdot 305 + 38 \cdot 141 + 39 \cdot 46 + 40 \cdot 6 = 36\,496\), поэтому \(\overline{Y} = \frac{36\,496}{1000} = 36{,}496\); примем \(\overline{Y} \approx 36{,}5\). Результаты вычислений занесём в таблицу.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Y & M & Y - \overline{Y} & (Y - \overline{Y})^{2} & (Y - \overline{Y})^{2} \cdot M \\ \hline 33 & 6 & -3{,}5 & 12{,}25 & 73{,}5 \\ \hline 34 & 48 & -2{,}5 & 6{,}25 & 300 \\ \hline 35 & 139 & -1{,}5 & 2{,}25 & 312{,}75 \\ \hline 36 & 309 & -0{,}5 & 0{,}25 & 77{,}25 \\ \hline 37 & 305 & 0{,}5 & 0{,}25 & 76{,}25 \\ \hline 38 & 141 & 1{,}5 & 2{,}25 & 317{,}25 \\ \hline 39 & 46 & 2{,}5 & 6{,}25 & 287{,}5 \\ \hline 40 & 6 & 3{,}5 & 12{,}25 & 73{,}5 \\ \hline \text{Сумма} & 1000 & & & 1518 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} D_{Y} &= \frac{1518}{1000} = 1{,}518; \\ \sigma_{Y} &= \sqrt{1{,}518} \approx 1{,}2. \end{aligned}\]
В пределах \(\sigma_{Y}\) от среднего — от \(36{,}5 - 1{,}2 = 35{,}3\) до \(36{,}5 + 1{,}2 = 37{,}7\) — лежат размеры 36 и 37: \(309 + 305 = 614\) значений из 1000, т. е. \(61{,}4\,\%\). В пределах \(2\sigma_{Y} \approx 2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4\) — от \(36{,}5 - 2{,}4 = 34{,}1\) до \(36{,}5 + 2{,}4 = 38{,}9\) — лежат размеры от 35 до 38: \(139 + 614 + 141 = 894\) значения, т. е. \(89{,}4\,\%\). В пределах \(3\sigma_{Y} \approx 3 \cdot 1{,}2 = 3{,}6\) — от \(36{,}5 - 3{,}6 = 32{,}9\) до \(36{,}5 + 3{,}6 = 40{,}1\) — лежат все размеры от 33 до 40, т. е. все 1000 значений (\(100\,\%\)).
По правилу трёх сигм в этих трёх полосах должно лежать около \(68\,\%\), \(96\,\%\) и \(99{,}7\,\%\) значений.
Главное утверждение правила подтверждается: все значения обеих величин отклоняются от среднего не больше чем на \(3\sigma\), а доля значений \(X\) в пределах \(2\sigma\) почти равна 96 %. Остальные доли заметно отличаются от 68 % и 96 %: размеры одежды идут с шагом 2, размеры обуви — с шагом 1, это сравнимо с \(\sigma\), поэтому все девятиклассницы с размером у границы полосы попадают в неё или не попадают разом.
Ответ: у размеров одежды (\(\overline{X} \approx 44\), \(\sigma_{X} \approx 2{,}4\)) в пределах \(\sigma\), \(2\sigma\) и \(3\sigma\) от среднего лежат \(80{,}3\,\%\), \(96{,}3\,\%\) и \(100\,\%\) значений, у размеров обуви (\(\overline{Y} \approx 36{,}5\), \(\sigma_{Y} \approx 1{,}2\)) — \(61{,}4\,\%\), \(89{,}4\,\%\) и \(100\,\%\); главное утверждение правила трёх сигм — практически все значения отклоняются от среднего не больше чем на \(3\sigma\) — подтверждается.
