Страница 106 номер 4, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Были произведены замеры диаметров \(d\) оснований цилиндров в большой партии стальных заготовок. Замеры производились дважды — двумя различными измерительными приборами. Из результатов измерений (с точностью до 1 мм) первым прибором были выбраны случайным образом 10 замеров (см. таблицу слева), аналогичным образом были выбраны 10 замеров, сделанных вторым прибором (см. таблицу справа). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline d_{1} & 58 & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{1} & 1 & 2 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline d_{2} & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{2} & 2 & 5 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] Выявить предпочтительность использования в дальнейших измерениях того или иного прибора, взяв за критерий оценки качества измерения меру рассеяния полученных данных (сделанные выборки считать репрезентативными).
Выборки считаем репрезентативными, поэтому замеры каждого прибора рассеяны в них так же, как все его замеры. Качество измерения выше у того прибора, замеры которого меньше рассеяны около среднего значения, т. е. у которого меньше дисперсия. Значения диаметров повторяются, поэтому среднее и дисперсию находим с учётом частот.
Первый прибор, число замеров \(\Sigma M_{1} = 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline d_{1} & 58 & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{1} & 1 & 2 & 4 & 2 & 1 \\ \hline d_{1} \cdot M_{1} & 58 & 118 & 240 & 122 & 62 \\ \hline d_{1} - \overline{d}_{1} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline (d_{1} - \overline{d}_{1})^{2} & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline (d_{1} - \overline{d}_{1})^{2} \cdot M_{1} & 4 & 2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{d}_{1} &= \frac{58 + 118 + 240 + 122 + 62}{10} = \frac{600}{10} = 60\,\text{мм}; \\ D_{1} &= \frac{4 + 2 + 0 + 2 + 4}{10} = \frac{12}{10} = 1{,}2\,\text{мм}^{2}. \end{aligned}\]
Второй прибор, число замеров \(\Sigma M_{2} = 2 + 5 + 2 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline d_{2} & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{2} & 2 & 5 & 2 & 1 \\ \hline d_{2} \cdot M_{2} & 118 & 300 & 122 & 62 \\ \hline d_{2} - \overline{d}_{2} & -1{,}2 & -0{,}2 & 0{,}8 & 1{,}8 \\ \hline (d_{2} - \overline{d}_{2})^{2} & 1{,}44 & 0{,}04 & 0{,}64 & 3{,}24 \\ \hline (d_{2} - \overline{d}_{2})^{2} \cdot M_{2} & 2{,}88 & 0{,}2 & 1{,}28 & 3{,}24 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{d}_{2} &= \frac{118 + 300 + 122 + 62}{10} = \frac{602}{10} = 60{,}2\,\text{мм}; \\ D_{2} &= \frac{2{,}88 + 0{,}2 + 1{,}28 + 3{,}24}{10} = \frac{7{,}6}{10} = 0{,}76\,\text{мм}^{2}. \end{aligned}\]
Так как \(D_{2} < D_{1}\), замеры второго прибора меньше рассеяны около среднего значения, поэтому в дальнейших измерениях предпочтительнее использовать второй прибор.
Ответ: предпочтительнее второй прибор: рассеяние его замеров меньше, \(D_{2} = 0{,}76\,\text{мм}^{2} < D_{1} = 1{,}2\,\text{мм}^{2}\).
Были произведены замеры диаметров \(d\) оснований цилиндров в большой партии стальных заготовок. Замеры производились дважды — двумя различными измерительными приборами. Из результатов измерений (с точностью до 1 мм) первым прибором были выбраны случайным образом 10 замеров (см. таблицу слева), аналогичным образом были выбраны 10 замеров, сделанных вторым прибором (см. таблицу справа). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline d_{1} & 58 & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{1} & 1 & 2 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline d_{2} & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{2} & 2 & 5 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] Выявить предпочтительность использования в дальнейших измерениях того или иного прибора, взяв за критерий оценки качества измерения меру рассеяния полученных данных (сделанные выборки считать репрезентативными).
Выборки считаем репрезентативными, поэтому замеры каждого прибора рассеяны в них так же, как все его замеры. Качество измерения выше у того прибора, замеры которого меньше рассеяны около среднего значения, т. е. у которого меньше дисперсия. Значения диаметров повторяются, поэтому среднее и дисперсию находим с учётом частот; результаты последовательных вычислений будем заносить в таблицы.
Первый прибор, число замеров \(\Sigma M_{1} = 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline d_{1} & 58 & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{1} & 1 & 2 & 4 & 2 & 1 \\ \hline d_{1} \cdot M_{1} & 58 & 118 & 240 & 122 & 62 \\ \hline d_{1} - \overline{d}_{1} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline (d_{1} - \overline{d}_{1})^{2} & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline (d_{1} - \overline{d}_{1})^{2} \cdot M_{1} & 4 & 2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{d}_{1} &= \frac{58 + 118 + 240 + 122 + 62}{10} = \frac{600}{10} = 60\,\text{мм}; \\ D_{1} &= \frac{4 + 2 + 0 + 2 + 4}{10} = \frac{12}{10} = 1{,}2\,\text{мм}^{2}. \end{aligned}\]
Второй прибор, число замеров \(\Sigma M_{2} = 2 + 5 + 2 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline d_{2} & 59 & 60 & 61 & 62 \\ \hline M_{2} & 2 & 5 & 2 & 1 \\ \hline d_{2} \cdot M_{2} & 118 & 300 & 122 & 62 \\ \hline d_{2} - \overline{d}_{2} & -1{,}2 & -0{,}2 & 0{,}8 & 1{,}8 \\ \hline (d_{2} - \overline{d}_{2})^{2} & 1{,}44 & 0{,}04 & 0{,}64 & 3{,}24 \\ \hline (d_{2} - \overline{d}_{2})^{2} \cdot M_{2} & 2{,}88 & 0{,}2 & 1{,}28 & 3{,}24 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{d}_{2} &= \frac{118 + 300 + 122 + 62}{10} = \frac{602}{10} = 60{,}2\,\text{мм}; \\ D_{2} &= \frac{2{,}88 + 0{,}2 + 1{,}28 + 3{,}24}{10} = \frac{7{,}6}{10} = 0{,}76\,\text{мм}^{2}. \end{aligned}\]
Так как \(D_{2} < D_{1}\), замеры второго прибора меньше рассеяны около среднего значения, поэтому в дальнейших измерениях предпочтительнее использовать второй прибор.
Ответ: предпочтительнее второй прибор: рассеяние его замеров меньше, \(D_{2} = 0{,}76\,\text{мм}^{2} < D_{1} = 1{,}2\,\text{мм}^{2}\).
