Страница 106 номер 2, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Найти среднее квадратичное отклонение величины \(X\), заданной частотным распределением. 1) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 2 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}\] 2) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & -5 & -2 & 2 & 3 \\ \hline M & 2 & 3 & 4 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Значения величины повторяются с частотами \(M\), поэтому \(\overline{X} = \frac{\Sigma(X \cdot M)}{\Sigma M}\), \(D = \frac{\Sigma((X - \overline{X})^{2} \cdot M)}{\Sigma M}\) и \(\sigma = \sqrt{D}\).
1) Число всех значений \(\Sigma M = 2 + 2 + 1 + 3 = 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 2 & 1 & 3 \\ \hline X \cdot M & 4 & 6 & 4 & 18 \\ \hline X - \overline{X} & -2 & -1 & 0 & 2 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 4 & 1 & 0 & 4 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 8 & 2 & 0 & 12 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{4 + 6 + 4 + 18}{8} = \frac{32}{8} = 4; \\ D &= \frac{8 + 2 + 0 + 12}{8} = \frac{22}{8} = 2{,}75; \\ \sigma &= \sqrt{2{,}75} \approx 1{,}7. \end{aligned}\]
2) Число всех значений \(\Sigma M = 2 + 3 + 4 + 2 = 11\).
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & -5 & -2 & 2 & 3 \st \\ \hline M & 2 & 3 & 4 & 2 \st \\ \hline X \cdot M & -10 & -6 & 8 & 6 \st \\ \hline X - \overline{X} & -\dfrac{53}{11} & -\dfrac{20}{11} & \dfrac{24}{11} & \dfrac{35}{11} \st \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & \dfrac{2809}{121} & \dfrac{400}{121} & \dfrac{576}{121} & \dfrac{1225}{121} \st \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & \dfrac{5618}{121} & \dfrac{1200}{121} & \dfrac{2304}{121} & \dfrac{2450}{121} \st \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{-10 - 6 + 8 + 6}{11} = -\frac{2}{11}; \\ D &= \frac{5618 + 1200 + 2304 + 2450}{121 \cdot 11} = \frac{11572}{1331} = \frac{1052}{121} \approx 8{,}7; \\ \sigma &= \sqrt{\frac{1052}{121}} \approx 2{,}9. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sigma \approx 1{,}7\); 2) \(\sigma \approx 2{,}9\).
Найти среднее квадратичное отклонение величины \(X\), заданной частотным распределением. 1) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 2 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}\] 2) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & -5 & -2 & 2 & 3 \\ \hline M & 2 & 3 & 4 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Значения величины повторяются с частотами \(M\), поэтому \(\overline{X} = \frac{\Sigma(X \cdot M)}{\Sigma M}\), \(D = \frac{\Sigma((X - \overline{X})^{2} \cdot M)}{\Sigma M}\) и \(\sigma = \sqrt{D}\). Результаты последовательных вычислений будем заносить в таблицу.
1) Число всех значений \(\Sigma M = 2 + 2 + 1 + 3 = 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 2 & 2 & 1 & 3 \\ \hline X \cdot M & 4 & 6 & 4 & 18 \\ \hline X - \overline{X} & -2 & -1 & 0 & 2 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 4 & 1 & 0 & 4 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 8 & 2 & 0 & 12 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{4 + 6 + 4 + 18}{8} = \frac{32}{8} = 4; \\ D &= \frac{8 + 2 + 0 + 12}{8} = \frac{22}{8} = 2{,}75; \\ \sigma &= \sqrt{2{,}75} \approx 1{,}7. \end{aligned}\]
2) Число всех значений \(\Sigma M = 2 + 3 + 4 + 2 = 11\); среднее значение и отклонения от него запишем обыкновенными дробями.
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & -5 & -2 & 2 & 3 \st \\ \hline M & 2 & 3 & 4 & 2 \st \\ \hline X \cdot M & -10 & -6 & 8 & 6 \st \\ \hline X - \overline{X} & -\dfrac{53}{11} & -\dfrac{20}{11} & \dfrac{24}{11} & \dfrac{35}{11} \st \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & \dfrac{2809}{121} & \dfrac{400}{121} & \dfrac{576}{121} & \dfrac{1225}{121} \st \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & \dfrac{5618}{121} & \dfrac{1200}{121} & \dfrac{2304}{121} & \dfrac{2450}{121} \st \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{-10 - 6 + 8 + 6}{11} = -\frac{2}{11}; \\ D &= \frac{5618 + 1200 + 2304 + 2450}{121 \cdot 11} = \frac{11572}{1331} = \frac{1052}{121} \approx 8{,}7; \\ \sigma &= \sqrt{\frac{1052}{121}} \approx 2{,}9. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sigma \approx 1{,}7\); 2) \(\sigma \approx 2{,}9\).
