Страница 100 номер 6, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по результативности и стабильности в забивании голов.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Условный номер сезона} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Число голов, забитых 1-м футболистом} & 17 & 21 & 20 & 16 & 15 & 19 \\ \hline \text{Число голов, забитых 2-м футболистом} & \text{—} & 17 & 20 & 18 & 21 & 14 \\ \hline \end{array}\]
\(X\) и \(Y\) — число голов, забитых за сезон первым и вторым футболистом. Первый футболист играл 6 сезонов, второй — 5, поэтому результативность сравниваем по среднему числу голов за сезон: \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{17 + 21 + 20 + 16 + 15 + 19}{6} = \frac{108}{6} = 18; \\ \overline{Y} &= \frac{17 + 20 + 18 + 21 + 14}{5} = \frac{90}{5} = 18. \end{aligned}\]
Средняя результативность у футболистов одинакова — 18 голов за сезон; стабильность сравним по дисперсиям.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & X & X - \overline{X} & (X - \overline{X})^{2} \\ \hline 1 & 17 & -1 & 1 \\ \hline 2 & 21 & 3 & 9 \\ \hline 3 & 20 & 2 & 4 \\ \hline 4 & 16 & -2 & 4 \\ \hline 5 & 15 & -3 & 9 \\ \hline 6 & 19 & 1 & 1 \\ \hline \text{Сумма} & 108 & 0 & 28 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & Y & Y - \overline{Y} & (Y - \overline{Y})^{2} \\ \hline 2 & 17 & -1 & 1 \\ \hline 3 & 20 & 2 & 4 \\ \hline 4 & 18 & 0 & 0 \\ \hline 5 & 21 & 3 & 9 \\ \hline 6 & 14 & -4 & 16 \\ \hline \text{Сумма} & 90 & 0 & 30 \\ \hline \end{array}\]
Сумму квадратов отклонений делим на число сезонов каждого футболиста: \[\begin{aligned} D_{X} &= \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \approx 4{,}7; \\ D_{Y} &= \frac{30}{5} = 6. \end{aligned}\]
Так как \(D_{X} < D_{Y}\), результаты первого футболиста меньше рассеяны около среднего, т. е. он стабильнее.
Ответ: средняя результативность одинакова — 18 голов за сезон; первый футболист стабильнее: \(D_{X} = \frac{14}{3} \approx 4{,}7 < D_{Y} = 6\).
Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по результативности и стабильности в забивании голов.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Условный номер сезона} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Число голов, забитых 1-м футболистом} & 17 & 21 & 20 & 16 & 15 & 19 \\ \hline \text{Число голов, забитых 2-м футболистом} & \text{—} & 17 & 20 & 18 & 21 & 14 \\ \hline \end{array}\]
Обозначим: \(X\) и \(Y\) — число голов, забитых за сезон первым и вторым футболистом. Первый футболист играл 6 сезонов, второй — 5 (в первом сезоне он не играл), поэтому результативность сравниваем по среднему числу голов за сезон: \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{17 + 21 + 20 + 16 + 15 + 19}{6} = \frac{108}{6} = 18; \\ \overline{Y} &= \frac{17 + 20 + 18 + 21 + 14}{5} = \frac{90}{5} = 18. \end{aligned}\]
Средняя результативность у футболистов одинакова — 18 голов за сезон. Стабильность сравним по дисперсиям; отклонения от среднего и их квадраты занесём в таблицы.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & X & X - \overline{X} & (X - \overline{X})^{2} \\ \hline 1 & 17 & -1 & 1 \\ \hline 2 & 21 & 3 & 9 \\ \hline 3 & 20 & 2 & 4 \\ \hline 4 & 16 & -2 & 4 \\ \hline 5 & 15 & -3 & 9 \\ \hline 6 & 19 & 1 & 1 \\ \hline \text{Сумма} & 108 & 0 & 28 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & Y & Y - \overline{Y} & (Y - \overline{Y})^{2} \\ \hline 2 & 17 & -1 & 1 \\ \hline 3 & 20 & 2 & 4 \\ \hline 4 & 18 & 0 & 0 \\ \hline 5 & 21 & 3 & 9 \\ \hline 6 & 14 & -4 & 16 \\ \hline \text{Сумма} & 90 & 0 & 30 \\ \hline \end{array}\]
Сумму квадратов отклонений делим на число сезонов каждого футболиста: \[\begin{aligned} D_{X} &= \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \approx 4{,}7; \\ D_{Y} &= \frac{30}{5} = 6. \end{aligned}\]
Так как \(D_{X} < D_{Y}\), результаты первого футболиста меньше рассеяны около среднего, т. е. он стабильнее.
Ответ: средняя результативность одинакова — 18 голов за сезон; первый футболист стабильнее: \(D_{X} = \frac{14}{3} \approx 4{,}7 < D_{Y} = 6\).
