Страница 100 номер 5, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Двух футболистов, участвующих в играх пяти сезонов и забивших одинаковое количество голов (см. таблицу), сравнить по стабильности результатов.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Условный номер сезона} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Число голов, забитых 1-м футболистом} & 18 & 23 & 19 & 17 & 23 \\ \hline \text{Число голов, забитых 2-м футболистом} & 19 & 16 & 22 & 23 & 20 \\ \hline \end{array}\]
\(X\) и \(Y\) — число голов, забитых за сезон первым и вторым футболистом; средние значения: \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{18 + 23 + 19 + 17 + 23}{5} = \frac{100}{5} = 20; \\ \overline{Y} &= \frac{19 + 16 + 22 + 23 + 20}{5} = \frac{100}{5} = 20. \end{aligned}\]
Средние результаты одинаковы, поэтому стабильность футболистов сравним по дисперсиям.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & X & X - \overline{X} & (X - \overline{X})^{2} \\ \hline 1 & 18 & -2 & 4 \\ \hline 2 & 23 & 3 & 9 \\ \hline 3 & 19 & -1 & 1 \\ \hline 4 & 17 & -3 & 9 \\ \hline 5 & 23 & 3 & 9 \\ \hline \text{Сумма} & 100 & 0 & 32 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & Y & Y - \overline{Y} & (Y - \overline{Y})^{2} \\ \hline 1 & 19 & -1 & 1 \\ \hline 2 & 16 & -4 & 16 \\ \hline 3 & 22 & 2 & 4 \\ \hline 4 & 23 & 3 & 9 \\ \hline 5 & 20 & 0 & 0 \\ \hline \text{Сумма} & 100 & 0 & 30 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} D_{X} &= \frac{32}{5} = 6{,}4; \\ D_{Y} &= \frac{30}{5} = 6. \end{aligned}\]
Так как \(D_{Y} < D_{X}\), результаты второго футболиста меньше рассеяны около среднего, т. е. он стабильнее.
Ответ: второй футболист стабильнее: \(D_{Y} = 6 < D_{X} = 6{,}4\).
Двух футболистов, участвующих в играх пяти сезонов и забивших одинаковое количество голов (см. таблицу), сравнить по стабильности результатов.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Условный номер сезона} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Число голов, забитых 1-м футболистом} & 18 & 23 & 19 & 17 & 23 \\ \hline \text{Число голов, забитых 2-м футболистом} & 19 & 16 & 22 & 23 & 20 \\ \hline \end{array}\]
Обозначим: \(X\) и \(Y\) — число голов, забитых за сезон первым и вторым футболистом. Средние значения: \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{18 + 23 + 19 + 17 + 23}{5} = \frac{100}{5} = 20; \\ \overline{Y} &= \frac{19 + 16 + 22 + 23 + 20}{5} = \frac{100}{5} = 20. \end{aligned}\]
Средние результаты одинаковы. Стабильность футболистов сравним по дисперсиям: чем меньше дисперсия, тем меньше результаты рассеяны около среднего. Отклонения от среднего и их квадраты занесём в таблицы.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & X & X - \overline{X} & (X - \overline{X})^{2} \\ \hline 1 & 18 & -2 & 4 \\ \hline 2 & 23 & 3 & 9 \\ \hline 3 & 19 & -1 & 1 \\ \hline 4 & 17 & -3 & 9 \\ \hline 5 & 23 & 3 & 9 \\ \hline \text{Сумма} & 100 & 0 & 32 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сезон} & Y & Y - \overline{Y} & (Y - \overline{Y})^{2} \\ \hline 1 & 19 & -1 & 1 \\ \hline 2 & 16 & -4 & 16 \\ \hline 3 & 22 & 2 & 4 \\ \hline 4 & 23 & 3 & 9 \\ \hline 5 & 20 & 0 & 0 \\ \hline \text{Сумма} & 100 & 0 & 30 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} D_{X} &= \frac{32}{5} = 6{,}4; \\ D_{Y} &= \frac{30}{5} = 6. \end{aligned}\]
Так как \(D_{Y} < D_{X}\), результаты второго футболиста меньше рассеяны около среднего, т. е. он стабильнее.
Ответ: второй футболист стабильнее: \(D_{Y} = 6 < D_{X} = 6{,}4\).
