Страница 10 номер 18, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
На рисунке 20 изображены латинские квадраты. Составить ортогональные им латинские квадраты.
Пусть к данному квадрату есть ортогональный латинский квадрат. Если наложить его на данный, в клетках получатся все шестнадцать двузначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, каждое по одному разу: первая цифра — число данного квадрата, вторая — ортогонального. В ортогональном квадрате число 1 стоит в четырёх клетках, по одной в каждой строке и столбце, значит, в данном квадрате в этих клетках должны стоять 1, 2, 3, 4. Действительно, числа 11, 21, 31, 41 со второй цифрой 1 могут получиться только в этих клетках, поэтому числа данного квадрата там все разные. Покажем, что в данных квадратах нет четырёх клеток, по одной в каждой строке и каждом столбце, с четырьмя разными числами.
Переберём такие четвёрки клеток по строкам: в 1-й строке берём клетку в любом столбце, во 2-й — в другом столбце и с другим числом (для каждой клетки 1-й строки таких клеток две), в 3-й — в одном из двух оставшихся столбцов с числом, которого ещё нет, в 4-й остаётся последний столбец.
Левый квадрат (строки 3, 2, 1, 4; 2, 1, 4, 3; 1, 4, 3, 2; 4, 3, 2, 1) — 8 случаев:
1-я строка — 3 (1-й столбец), 2-я — 1 (2-й столбец), 3-я — 2 (4-й столбец; в 3-м — 3, уже есть), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 3 (1-й столбец), 2-я — 4 (3-й столбец), 3-я — 2 (4-й столбец; во 2-м — 4, уже есть), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 2 (2-й столбец), 2-я — 4 (3-й столбец), 3-я — 1 (1-й столбец; в 4-м — 2, уже есть), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 2 (2-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 1 (1-й столбец; в 3-м — 3, уже есть), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 1 (3-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 4 (2-й столбец; в 4-м — 2, уже есть), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 1 (3-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 4 (2-й столбец; в 1-м — 1, уже есть), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 3 (3-й столбец; во 2-м — 4, уже есть), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 1 (2-й столбец), 3-я — 3 (3-й столбец; в 1-м — 1, уже есть), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть.
Правый квадрат (строки 1, 3, 2, 4; 2, 4, 1, 3; 3, 2, 4, 1; 4, 1, 3, 2) — 12 случаев:
1-я строка — 1 (1-й столбец), 2-я — 4 (2-й столбец), в 3-й строке остались 3-й и 4-й столбцы, в них 4 и 1 — оба числа уже есть;
1-я строка — 1 (1-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 2 (2-й столбец), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 1 (1-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 4 (3-й столбец), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 3 (2-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 4 (3-й столбец), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 3 (2-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 1 (4-й столбец), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 3 (2-й столбец), 2-я — 1 (3-й столбец), в 3-й строке остались 1-й и 4-й столбцы, в них 3 и 1 — оба числа уже есть;
1-я строка — 2 (3-й столбец), 2-я — 4 (2-й столбец), 3-я — 3 (1-й столбец), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 2 (3-й столбец), 2-я — 4 (2-й столбец), 3-я — 1 (4-й столбец), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть;
1-я строка — 2 (3-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), в 3-й строке остались 1-й и 2-й столбцы, в них 3 и 2 — оба числа уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), в 3-й строке остались 2-й и 3-й столбцы, в них 2 и 4 — оба числа уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 1 (3-й столбец), 3-я — 3 (1-й столбец), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 1 (3-й столбец), 3-я — 2 (2-й столбец), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть.
Перебор по строкам (8 случаев у левого квадрата, 12 у правого) показывает, что таких клеток нет.
Ответ: ни к одному из двух квадратов ортогональный латинский квадрат составить нельзя.
На рисунке 20 изображены латинские квадраты. Составить ортогональные им латинские квадраты.
Пусть к данному квадрату есть ортогональный латинский квадрат. Если наложить его на данный, в клетках получатся все шестнадцать двузначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, каждое по одному разу: первая цифра — число данного квадрата, вторая — ортогонального. В ортогональном квадрате число 1 стоит в четырёх клетках, по одной в каждой строке и столбце, значит, в данном квадрате в этих клетках должны стоять 1, 2, 3, 4. Действительно, числа 11, 21, 31, 41 со второй цифрой 1 могут получиться только в этих клетках, поэтому числа данного квадрата там все разные. Покажем, что в данных квадратах нет четырёх клеток, по одной в каждой строке и каждом столбце, с четырьмя разными числами.
Переберём такие четвёрки клеток по строкам: в 1-й строке берём клетку в любом столбце, во 2-й — в другом столбце и с другим числом (для каждой клетки 1-й строки таких клеток две), в 3-й — в одном из двух оставшихся столбцов с числом, которого ещё нет, в 4-й остаётся последний столбец. В записи случая для каждой строки квадрата указано число выбранной клетки, в скобках — её столбец, а в конце — место, где перебор обрывается.
Левый квадрат (строки 3, 2, 1, 4; 2, 1, 4, 3; 1, 4, 3, 2; 4, 3, 2, 1) — 8 случаев:
1-я строка — 3 (1-й столбец), 2-я — 1 (2-й столбец), 3-я — 2 (4-й столбец; в 3-м — 3, уже есть), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 3 (1-й столбец), 2-я — 4 (3-й столбец), 3-я — 2 (4-й столбец; во 2-м — 4, уже есть), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 2 (2-й столбец), 2-я — 4 (3-й столбец), 3-я — 1 (1-й столбец; в 4-м — 2, уже есть), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 2 (2-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 1 (1-й столбец; в 3-м — 3, уже есть), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 1 (3-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 4 (2-й столбец; в 4-м — 2, уже есть), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 1 (3-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 4 (2-й столбец; в 1-м — 1, уже есть), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 3 (3-й столбец; во 2-м — 4, уже есть), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 1 (2-й столбец), 3-я — 3 (3-й столбец; в 1-м — 1, уже есть), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть.
Правый квадрат (строки 1, 3, 2, 4; 2, 4, 1, 3; 3, 2, 4, 1; 4, 1, 3, 2) — 12 случаев:
1-я строка — 1 (1-й столбец), 2-я — 4 (2-й столбец), в 3-й строке остались 3-й и 4-й столбцы, в них 4 и 1 — оба числа уже есть;
1-я строка — 1 (1-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 2 (2-й столбец), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 1 (1-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), 3-я — 4 (3-й столбец), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 3 (2-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 4 (3-й столбец), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 3 (2-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), 3-я — 1 (4-й столбец), в 4-й строке остался 3-й столбец, в нём 3 — уже есть;
1-я строка — 3 (2-й столбец), 2-я — 1 (3-й столбец), в 3-й строке остались 1-й и 4-й столбцы, в них 3 и 1 — оба числа уже есть;
1-я строка — 2 (3-й столбец), 2-я — 4 (2-й столбец), 3-я — 3 (1-й столбец), в 4-й строке остался 4-й столбец, в нём 2 — уже есть;
1-я строка — 2 (3-й столбец), 2-я — 4 (2-й столбец), 3-я — 1 (4-й столбец), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть;
1-я строка — 2 (3-й столбец), 2-я — 3 (4-й столбец), в 3-й строке остались 1-й и 2-й столбцы, в них 3 и 2 — оба числа уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 2 (1-й столбец), в 3-й строке остались 2-й и 3-й столбцы, в них 2 и 4 — оба числа уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 1 (3-й столбец), 3-я — 3 (1-й столбец), в 4-й строке остался 2-й столбец, в нём 1 — уже есть;
1-я строка — 4 (4-й столбец), 2-я — 1 (3-й столбец), 3-я — 2 (2-й столбец), в 4-й строке остался 1-й столбец, в нём 4 — уже есть.
Перебор по строкам (8 случаев у левого квадрата, 12 у правого) показывает, что таких клеток нет. Значит, ортогональный латинский квадрат нельзя составить ни к левому квадрату, ни к правому.
Ответ: ни к одному из двух квадратов ортогональный латинский квадрат составить нельзя.
