Страница 10 номер 19, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
На рисунке 21 изображены приложенные друг к другу два одинаковых \(n\)-х по порядку треугольных числа (одно выложено из чёрных камней, другое, «перевёрнутое»,— из белых). С помощью этого рисунка обосновать, почему \(n\)-е по порядку треугольное число находится по формуле \(N_{\text{тр}} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\).
Чёрных камней в рядах сверху вниз 1, 2, 3, …, \(n\), всего \(N_{\text{тр}}\); белых — \(n\), …, 3, 2, 1 (то же треугольное число, перевёрнутое), всего тоже \(N_{\text{тр}}\). Значит, всего камней \(2 \cdot N_{\text{тр}}\).
По рядам: в верхнем ряду 1 чёрный и \(n\) белых камней, всего \(1 + n = n + 1\); в каждом следующем ряду чёрных на один больше, а белых на один меньше, поэтому в каждом ряду тоже \(n + 1\) камней (в нижнем — \(n\) чёрных и 1 белый). Рядов \(n\), поэтому всего камней \(n \cdot (n + 1)\).
Число камней, посчитанное двумя способами, одно и то же:
\[\begin{aligned} 2 \cdot N_{\text{тр}} &= n \cdot (n + 1); \qquad | : 2 \\ N_{\text{тр}} &= \frac{n \cdot (n + 1)}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: два одинаковых \(n\)-х треугольных числа, приложенные друг к другу, образуют \(n\) рядов по \(n + 1\) камней, поэтому \(2 \cdot N_{\text{тр}} = n \cdot (n + 1)\) и \(N_{\text{тр}} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\).
На рисунке 21 изображены приложенные друг к другу два одинаковых \(n\)-х по порядку треугольных числа (одно выложено из чёрных камней, другое, «перевёрнутое»,— из белых). С помощью этого рисунка обосновать, почему \(n\)-е по порядку треугольное число находится по формуле \(N_{\text{тр}} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\).
Чёрные камни образуют \(n\)-е треугольное число: в рядах сверху вниз их 1, 2, 3, …, \(n\), всего \(N_{\text{тр}}\) камней. Белые камни образуют такое же треугольное число, только перевёрнутое: в рядах сверху вниз их \(n\), …, 3, 2, 1, всего тоже \(N_{\text{тр}}\) камней. Значит, всего на рисунке \(2 \cdot N_{\text{тр}}\) камней.
Посчитаем камни иначе — по рядам. В верхнем ряду 1 чёрный и \(n\) белых камней, всего \(1 + n = n + 1\). В каждом следующем ряду чёрных камней на один больше, а белых на один меньше, поэтому в каждом ряду тоже \(n + 1\) камней (в нижнем — \(n\) чёрных и 1 белый). Рядов \(n\), поэтому всего камней \(n \cdot (n + 1)\).
Число камней, посчитанное двумя способами, одно и то же:
\[\begin{aligned} 2 \cdot N_{\text{тр}} &= n \cdot (n + 1); \qquad | : 2 \\ N_{\text{тр}} &= \frac{n \cdot (n + 1)}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: два одинаковых \(n\)-х треугольных числа, приложенные друг к другу, образуют \(n\) рядов по \(n + 1\) камней, поэтому \(2 \cdot N_{\text{тр}} = n \cdot (n + 1)\) и \(N_{\text{тр}} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\).
