Страница 149 номер 6.3.9, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
По формуле суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\] При \(q = 1\) эта формула неприменима — её знаменатель обращается в нуль; тогда все члены прогрессии равны первому и \(S_n = nb_1\).
1) \[S_5 = \frac{-1 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{-(243 - 1)}{2} = \frac{-242}{2} = -121.\]
2) \[S_5 = \frac{1 \cdot ((-3)^5 - 1)}{-3 - 1} = \frac{-243 - 1}{-4} = \frac{-244}{-4} = 61.\]
3) \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{2\left(\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2\left(\frac{1}{81} - 1\right)}{-\frac{2}{3}} = {} \\ &= \frac{-\frac{160}{81}}{-\frac{2}{3}} = \frac{160}{81} \cdot \frac{3}{2} = \frac{80}{27} = 2\frac{26}{27}. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{3\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3\left(\frac{1}{16} - 1\right)}{-\frac{1}{2}} = {} \\ &= \frac{-\frac{45}{16}}{-\frac{1}{2}} = \frac{45}{16} \cdot 2 = \frac{45}{8} = 5\frac{5}{8}. \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &S_3 = \frac{6\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{6\left(-\frac{1}{8} - 1\right)}{-\frac{3}{2}} = {} \\ &= \frac{-\frac{27}{4}}{-\frac{3}{2}} = \frac{27}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}. \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &S_3 = \frac{12\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 1\right)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{12\left(-\frac{1}{27} - 1\right)}{-\frac{4}{3}} = {} \\ &= \frac{-\frac{112}{9}}{-\frac{4}{3}} = \frac{112}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
7) Знаменатель равен единице, поэтому все члены прогрессии равны \(-13\) и \[S_{50} = 50 b_1 = 50 \cdot (-13) = -650.\]
8) Знаменатель снова равен единице, поэтому \[S_{100} = 100 b_1 = 100 \cdot (-21) = -2100.\]
Ответ: 1) \(S_5 = -121\); 2) \(S_5 = 61\); 3) \(S_4 = 2\frac{26}{27}\); 4) \(S_4 = 5\frac{5}{8}\); 5) \(S_3 = 4\frac{1}{2}\); 6) \(S_3 = 9\frac{1}{3}\); 7) \(S_{50} = -650\); 8) \(S_{100} = -2100\).
Сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) находим по формуле \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\] Если же \(q = 1\), эта формула неприменима — её знаменатель обращается в нуль; в этом случае все члены прогрессии равны первому и \(S_n = nb_1\).
1) \(b_1 = -1\), \(q = 3\), \(n = 5\): \[S_5 = \frac{-1 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{-(243 - 1)}{2} = \frac{-242}{2} = -121.\]
2) \(b_1 = 1\), \(q = -3\), \(n = 5\): \[S_5 = \frac{1 \cdot ((-3)^5 - 1)}{-3 - 1} = \frac{-243 - 1}{-4} = \frac{-244}{-4} = 61.\]
3) \(b_1 = 2\), \(q = \frac{1}{3}\), \(n = 4\): \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{2\left(\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2\left(\frac{1}{81} - 1\right)}{-\frac{2}{3}} = {} \\ &= \frac{-\frac{160}{81}}{-\frac{2}{3}} = \frac{160}{81} \cdot \frac{3}{2} = \frac{80}{27} = 2\frac{26}{27}. \end{aligned}\]
4) \(b_1 = 3\), \(q = \frac{1}{2}\), \(n = 4\): \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{3\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3\left(\frac{1}{16} - 1\right)}{-\frac{1}{2}} = {} \\ &= \frac{-\frac{45}{16}}{-\frac{1}{2}} = \frac{45}{16} \cdot 2 = \frac{45}{8} = 5\frac{5}{8}. \end{aligned}\]
5) \(b_1 = 6\), \(q = -\frac{1}{2}\), \(n = 3\): \[\begin{aligned} &S_3 = \frac{6\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{6\left(-\frac{1}{8} - 1\right)}{-\frac{3}{2}} = {} \\ &= \frac{-\frac{27}{4}}{-\frac{3}{2}} = \frac{27}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}. \end{aligned}\]
6) \(b_1 = 12\), \(q = -\frac{1}{3}\), \(n = 3\): \[\begin{aligned} &S_3 = \frac{12\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 1\right)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{12\left(-\frac{1}{27} - 1\right)}{-\frac{4}{3}} = {} \\ &= \frac{-\frac{112}{9}}{-\frac{4}{3}} = \frac{112}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
7) \(b_1 = -13\), \(q = 1\), \(n = 50\). Знаменатель равен единице, поэтому все члены прогрессии равны \(-13\) и \[S_{50} = 50 b_1 = 50 \cdot (-13) = -650.\]
8) \(b_1 = -21\), \(q = 1\), \(n = 100\). Знаменатель снова равен единице, поэтому \[S_{100} = 100 b_1 = 100 \cdot (-21) = -2100.\]
Ответ: 1) \(S_5 = -121\); 2) \(S_5 = 61\); 3) \(S_4 = 2\frac{26}{27}\); 4) \(S_4 = 5\frac{5}{8}\); 5) \(S_3 = 4\frac{1}{2}\); 6) \(S_3 = 9\frac{1}{3}\); 7) \(S_{50} = -650\); 8) \(S_{100} = -2100\).
