Страница 150 номер 6.3.10, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии: 1) \(-5\), \(-1\), \(-\frac{1}{5}\), …, если \(n = 5\); 2) \(-8\), \(2\), \(-\frac{1}{2}\), …, если \(n = 6\).
Знаменатель находим как отношение второго члена к первому, а затем применяем формулу суммы первых \(n\) членов \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\]
1) \(b_1 = -5\), \(q = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}\), \(n = 5\): \[\begin{aligned} &S_5 = \frac{-5\left(\left(\frac{1}{5}\right)^5 - 1\right)}{\frac{1}{5} - 1} = \frac{-5\left(\frac{1}{3125} - 1\right)}{-\frac{4}{5}} = {} \\ &= \frac{\frac{3124}{625}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3124}{625} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{781}{125} = -6\frac{31}{125}. \end{aligned}\]
2) \(b_1 = -8\), \(q = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}\), \(n = 6\): \[\begin{aligned} &S_6 = \frac{-8\left(\left(-\frac{1}{4}\right)^6 - 1\right)}{-\frac{1}{4} - 1} = \frac{-8\left(\frac{1}{4096} - 1\right)}{-\frac{5}{4}} = {} \\ &= \frac{\frac{4095}{512}}{-\frac{5}{4}} = -\frac{4095}{512} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{819}{128} = -6\frac{51}{128}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(S_5 = -6\frac{31}{125}\); 2) \(S_6 = -6\frac{51}{128}\).
Найти сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии: 1) \(-5\), \(-1\), \(-\frac{1}{5}\), …, если \(n = 5\); 2) \(-8\), \(2\), \(-\frac{1}{2}\), …, если \(n = 6\).
Знаменатель находим как отношение второго члена к первому, а затем применяем формулу суммы первых \(n\) членов \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\]
1) Прогрессия \(-5\), \(-1\), \(-\frac{1}{5}\), …: \(b_1 = -5\), \(q = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}\). При \(n = 5\) \[\begin{aligned} &S_5 = \frac{-5\left(\left(\frac{1}{5}\right)^5 - 1\right)}{\frac{1}{5} - 1} = \frac{-5\left(\frac{1}{3125} - 1\right)}{-\frac{4}{5}} = {} \\ &= \frac{\frac{3124}{625}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3124}{625} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{781}{125} = -6\frac{31}{125}. \end{aligned}\]
2) Прогрессия \(-8\), \(2\), \(-\frac{1}{2}\), …: \(b_1 = -8\), \(q = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}\). При \(n = 6\) \[\begin{aligned} &S_6 = \frac{-8\left(\left(-\frac{1}{4}\right)^6 - 1\right)}{-\frac{1}{4} - 1} = \frac{-8\left(\frac{1}{4096} - 1\right)}{-\frac{5}{4}} = {} \\ &= \frac{\frac{4095}{512}}{-\frac{5}{4}} = -\frac{4095}{512} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{819}{128} = -6\frac{51}{128}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(S_5 = -6\frac{31}{125}\); 2) \(S_6 = -6\frac{51}{128}\).
