Страница 149 номер 6.3.6, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти первый член \(b_1\) геометрической прогрессии, если: 1) \(q = -2\), \(b_6 = -224\); 2) \(q = -3\), \(b_4 = 162\); 3) \(q = 0{,}5\), \(b_8 = -\frac{1}{320}\); 4) \(q = -0{,}8\), \(b_6 = -0{,}64\).
Первый член находим из формулы \(n\)-го члена \(b_n = b_1 q^{n-1}\).
1) Из \(b_6 = b_1 q^5\) получаем \(-224 = b_1 \cdot (-2)^5\), то есть \(-224 = -32b_1\), откуда \(b_1 = 7\).
2) Из \(b_4 = b_1 q^3\) получаем \(162 = b_1 \cdot (-3)^3\), то есть \(162 = -27b_1\), откуда \(b_1 = -6\).
3) Здесь \(q = 0{,}5 = \frac{1}{2}\), поэтому \(q^7 = \frac{1}{128}\) и \(-\frac{1}{320} = \frac{b_1}{128}\), откуда \[b_1 = -\frac{128}{320} = -\frac{2}{5} = -0{,}4.\]
4) Здесь \(q = -0{,}8 = -\frac{4}{5}\), \(b_6 = -0{,}64 = -\frac{16}{25}\). Знаменатель отрицателен, а показатель нечётный, поэтому \(q^5 = -\frac{1024}{3125}\), и из равенства \(-\frac{16}{25} = b_1 \cdot \left(-\frac{1024}{3125}\right)\) получаем \[b_1 = -\frac{16}{25} : \left(-\frac{1024}{3125}\right) = \frac{16}{25} \cdot \frac{3125}{1024} = \frac{125}{64} = 1\frac{61}{64}.\]
Ответ: 1) \(b_1 = 7\); 2) \(b_1 = -6\); 3) \(b_1 = -0{,}4\); 4) \(b_1 = 1\frac{61}{64}\).
Найти первый член \(b_1\) геометрической прогрессии, если: 1) \(q = -2\), \(b_6 = -224\); 2) \(q = -3\), \(b_4 = 162\); 3) \(q = 0{,}5\), \(b_8 = -\frac{1}{320}\); 4) \(q = -0{,}8\), \(b_6 = -0{,}64\).
Первый член находим из формулы \(n\)-го члена \(b_n = b_1 q^{n-1}\): подстановка известного члена, его номера и знаменателя даёт уравнение относительно \(b_1\).
1) \(q = -2\), \(b_6 = -224\). Из \(b_6 = b_1 q^5\) получаем \(-224 = b_1 \cdot (-2)^5\), то есть \(-224 = -32b_1\), откуда \(b_1 = 7\).
2) \(q = -3\), \(b_4 = 162\). Из \(b_4 = b_1 q^3\) получаем \(162 = b_1 \cdot (-3)^3\), то есть \(162 = -27b_1\), откуда \(b_1 = -6\).
3) \(q = 0{,}5 = \frac{1}{2}\), \(b_8 = -\frac{1}{320}\). Здесь \(q^7 = \frac{1}{128}\), поэтому \(-\frac{1}{320} = \frac{b_1}{128}\), откуда \[b_1 = -\frac{128}{320} = -\frac{2}{5} = -0{,}4.\]
4) \(q = -0{,}8 = -\frac{4}{5}\), \(b_6 = -0{,}64 = -\frac{16}{25}\). Знаменатель отрицателен, а показатель нечётный, поэтому \(q^5 = -\frac{1024}{3125}\), и из равенства \(-\frac{16}{25} = b_1 \cdot \left(-\frac{1024}{3125}\right)\) получаем \[b_1 = -\frac{16}{25} : \left(-\frac{1024}{3125}\right) = \frac{16}{25} \cdot \frac{3125}{1024} = \frac{125}{64} = 1\frac{61}{64}.\]
Ответ: 1) \(b_1 = 7\); 2) \(b_1 = -6\); 3) \(b_1 = -0{,}4\); 4) \(b_1 = 1\frac{61}{64}\).
