Страница 149 номер 6.3.5, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Номер члена находим из формулы \(n\)-го члена \(b_n = b_1 q^{n-1}\). Номер члена прогрессии — натуральное число, поэтому найденное \(n\) надо проверить на натуральность.
1) Из \(6 \cdot (-0{,}1)^{n-1} = -0{,}00006\) получаем \((-0{,}1)^{n-1} = -0{,}00001\). Степень отрицательна, значит, показатель нечётный и \((0{,}1)^{n-1} = 0{,}00001 = (0{,}1)^5\). Отсюда \(n - 1 = 5\) и \(n = 6\).
2) Из \(4 \cdot (-0{,}2)^{n-1} = 0{,}0064\) получаем \((-0{,}2)^{n-1} = 0{,}0016\). Степень положительна, значит, показатель чётный и \((0{,}2)^{n-1} = 0{,}0016 = (0{,}2)^4\). Отсюда \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\).
3) Из \(-\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} = -\frac{27}{128}\) получаем \[\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} = -\frac{27}{128} : \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{27}{128} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{256}.\] Степень положительна, значит, показатель чётный и \(\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = \frac{81}{256} = \left(\frac{3}{4}\right)^4\). Отсюда \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\).
4) Из \(-\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{9}\right)^{n-1} = \frac{25}{243}\) получаем \[\left(-\frac{5}{9}\right)^{n-1} = \frac{25}{243} : \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{25}{243} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{125}{729}.\] Степень отрицательна, значит, показатель нечётный и \(\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1} = \frac{125}{729} = \left(\frac{5}{9}\right)^3\). Отсюда \(n - 1 = 3\) и \(n = 4\).
Во всех пунктах номер получился натуральным.
Ответ: 1) \(n = 6\); 2) \(n = 5\); 3) \(n = 5\); 4) \(n = 4\).
Номер члена находим из формулы \(n\)-го члена \(b_n = b_1 q^{n-1}\): известные \(b_1\), \(q\) и \(b_n\) дают уравнение относительно степени \(q^{n-1}\). Знак этой степени сразу говорит о чётности показателя: у отрицательного знаменателя чётная степень положительна, нечётная отрицательна. Номер члена прогрессии — натуральное число, поэтому найденное \(n\) надо проверить на натуральность.
1) \(b_1 = 6\), \(q = -0{,}1\), \(b_n = -0{,}00006\). Из \(6 \cdot (-0{,}1)^{n-1} = -0{,}00006\) получаем \((-0{,}1)^{n-1} = -0{,}00001\). Степень отрицательна, значит, показатель нечётный и \((0{,}1)^{n-1} = 0{,}00001 = (0{,}1)^5\). Отсюда \(n - 1 = 5\) и \(n = 6\) — число натуральное.
2) \(b_1 = 4\), \(q = -0{,}2\), \(b_n = 0{,}0064\). Из \(4 \cdot (-0{,}2)^{n-1} = 0{,}0064\) получаем \((-0{,}2)^{n-1} = 0{,}0016\). Степень положительна, значит, показатель чётный и \((0{,}2)^{n-1} = 0{,}0016 = (0{,}2)^4\). Отсюда \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\).
3) \(b_1 = -\frac{2}{3}\), \(q = -\frac{3}{4}\), \(b_n = -\frac{27}{128}\). Из \(-\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} = -\frac{27}{128}\) получаем \[\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} = -\frac{27}{128} : \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{27}{128} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{256}.\] Степень положительна, значит, показатель чётный и \(\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = \frac{81}{256} = \left(\frac{3}{4}\right)^4\). Отсюда \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\).
4) \(b_1 = -\frac{3}{5}\), \(q = -\frac{5}{9}\), \(b_n = \frac{25}{243}\). Из \(-\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{9}\right)^{n-1} = \frac{25}{243}\) получаем \[\left(-\frac{5}{9}\right)^{n-1} = \frac{25}{243} : \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{25}{243} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{125}{729}.\] Степень отрицательна, значит, показатель нечётный и \(\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1} = \frac{125}{729} = \left(\frac{5}{9}\right)^3\). Отсюда \(n - 1 = 3\) и \(n = 4\).
Во всех пунктах номер получился натуральным.
Ответ: 1) \(n = 6\); 2) \(n = 5\); 3) \(n = 5\); 4) \(n = 4\).
