Страница 151 номер 6.3.25, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма второго и четвёртого её членов равна 30, а сумма третьего и пятого равна \(-90\).
По формуле \(n\)-го члена \(b_2 = b_1q\), \(b_3 = b_1q^2\), \(b_4 = b_1q^3\), \(b_5 = b_1q^4\), и условие даёт систему \[\begin{cases} b_1q + b_1q^3 = 30, \\ b_1q^2 + b_1q^4 = -90 \end{cases}\]
Левая часть второго уравнения получается из левой части первого умножением на \(q\): \[b_1q^2 + b_1q^4 = q\left(b_1q + b_1q^3\right) = 30q.\]
Значит, \(30q = -90\) и \(q = -3\). Подставим \(q = -3\) в первое уравнение: \[b_1 \cdot (-3) + b_1 \cdot (-3)^3 = 30,\qquad -3b_1 - 27b_1 = 30,\qquad -30b_1 = 30,\qquad b_1 = -1.\]
Проверка: прогрессия имеет вид \(-1\); \(3\); \(-9\); \(27\); \(-81\); … . Сумма второго и четвёртого членов \(3 + 27 = 30\), сумма третьего и пятого \(-9 + (-81) = -90\).
Ответ: \(b_1 = -1\), \(q = -3\).
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма второго и четвёртого её членов равна 30, а сумма третьего и пятого равна \(-90\).
Выразим нужные члены через первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\) по формуле \(b_n = b_1q^{n-1}\): \[b_2 = b_1q,\qquad b_3 = b_1q^2,\qquad b_4 = b_1q^3,\qquad b_5 = b_1q^4.\]
Условие задачи даёт систему \[\begin{cases} b_1q + b_1q^3 = 30, \\ b_1q^2 + b_1q^4 = -90 \end{cases}\]
Левая часть второго уравнения получается из левой части первого умножением на \(q\): \[b_1q^2 + b_1q^4 = q\left(b_1q + b_1q^3\right) = 30q.\]
Значит, \(30q = -90\) и \(q = -3\).
Подставим \(q = -3\) в первое уравнение: \[b_1 \cdot (-3) + b_1 \cdot (-3)^3 = 30,\qquad -3b_1 - 27b_1 = 30,\qquad -30b_1 = 30,\qquad b_1 = -1.\]
Проверка: прогрессия имеет вид \(-1\); \(3\); \(-9\); \(27\); \(-81\); … . Сумма второго и четвёртого членов \(3 + 27 = 30\), сумма третьего и пятого \(-9 + (-81) = -90\).
Ответ: \(b_1 = -1\), \(q = -3\).
