Страница 151 номер 6.3.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

В прогрессии \(2\sqrt{3}\); \(2\); \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\); … первый член \(b_1 = 2\sqrt{3}\), а знаменатель \[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

Третий член это подтверждает: \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Формула \(n\)-го члена: \(b_n = b_1q^{n-1} = 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-1} = \frac{2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{n-1}}\).

Данное число является членом прогрессии, если существует такое натуральное \(n\), при котором \(b_n\) равно этому числу.

1) Решаем уравнение \(\frac{2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{n-1}} = \frac{2}{3}\). Отсюда \[\left(\sqrt{3}\right)^{n-1} = 2\sqrt{3} : \frac{2}{3} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = 3\sqrt{3}.\]

Так как \(3\sqrt{3} = \left(\sqrt{3}\right)^2 \cdot \sqrt{3} = \left(\sqrt{3}\right)^3\), получаем равенство степеней с одним и тем же основанием, откуда \(n - 1 = 3\), \(n = 4\).

Число 4 натуральное, значит, \(\frac{2}{3}\) — четвёртый член данной прогрессии.

2) Решаем уравнение \(\frac{2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{n-1}} = \frac{2}{9}\). Отсюда \[\left(\sqrt{3}\right)^{n-1} = 2\sqrt{3} : \frac{2}{9} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{9}{2} = 9\sqrt{3}.\]

Так как \(9\sqrt{3} = \left(\sqrt{3}\right)^4 \cdot \sqrt{3} = \left(\sqrt{3}\right)^5\), то \(n - 1 = 5\), \(n = 6\).

Число 6 натуральное, значит, \(\frac{2}{9}\) — шестой член данной прогрессии.

Ответ: 1) 4; 2) 6.