Страница 151 номер 6.3.18, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

В прогрессии \(3\sqrt{2}\); \(6\); \(6\sqrt{2}\); … первый член \(b_1 = 3\sqrt{2}\), а знаменатель \[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \sqrt{2}.\]

Третий член это подтверждает: \(6 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).

Формула \(n\)-го члена: \(b_n = b_1q^{n-1} = 3\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2}\right)^{n-1}\).

Данное число является членом прогрессии, если существует такое натуральное \(n\), при котором \(b_n\) равно этому числу.

1) Решаем уравнение \(3\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2}\right)^{n-1} = 24\sqrt{2}\). Обе части делим на \(3\sqrt{2}\) (это число отлично от нуля): \[\left(\sqrt{2}\right)^{n-1} = 8.\]

Так как \(\left(\sqrt{2}\right)^6 = \left(\left(\sqrt{2}\right)^2\right)^3 = 2^3 = 8\), получаем равенство степеней с одним и тем же основанием \(\left(\sqrt{2}\right)^{n-1} = \left(\sqrt{2}\right)^6\), откуда \(n - 1 = 6\), \(n = 7\).

Число 7 натуральное, значит, \(24\sqrt{2}\) — седьмой член данной прогрессии.

2) Решаем уравнение \(3\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2}\right)^{n-1} = 12\sqrt{2}\), то есть \[\left(\sqrt{2}\right)^{n-1} = 4.\]

Так как \(\left(\sqrt{2}\right)^4 = \left(\left(\sqrt{2}\right)^2\right)^2 = 2^2 = 4\), то \(n - 1 = 4\), \(n = 5\).

Число 5 натуральное, значит, \(12\sqrt{2}\) — пятый член данной прогрессии.

Ответ: 1) 7; 2) 5.