Страница 151 номер 6.3.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выяснить, является ли число: 1) \(\frac{3}{32}\); 2) \(-0{,}012\) членом геометрической прогрессии \(-48\), \(6\), \(-0{,}75\), … .
У прогрессии \(-48\), \(6\), \(-0{,}75\), … первый член \(b_1 = -48\), знаменатель \(q = \frac{6}{-48} = -\frac{1}{8}\); третий член это подтверждает: \(6 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -0{,}75\). Значит, \[b_n = -48 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}.\]
1) Уравнение \(-48 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{3}{32}\) даёт \[\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{3}{32} : (-48) = -\frac{1}{512}.\] Степень отрицательна, значит, показатель нечётный и \(\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{1}{512} = \left(\frac{1}{8}\right)^3\). Отсюда \(n - 1 = 3\) и \(n = 4\). Номер натуральный, значит, \(\frac{3}{32}\) — четвёртый член прогрессии.
2) Уравнение \(-48 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = -0{,}012\) даёт \[\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = -0{,}012 : (-48) = 0{,}00025 = \frac{1}{4000}.\] Знаменатель отрицателен, а степень положительна, значит, показатель чётный и \(\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{1}{4000}\), то есть \(8^{n-1} = 4000\). Но \(8^3 = 512\), \(8^4 = 4096\), а степени числа 8 возрастают, поэтому 4000 ни одной степенью восьмёрки не является и натурального \(n\) нет. Число \(-0{,}012\) членом прогрессии не является.
Ответ: 1) число \(\frac{3}{32}\) является членом прогрессии, это её четвёртый член; 2) число \(-0{,}012\) членом прогрессии не является.
Выяснить, является ли число: 1) \(\frac{3}{32}\); 2) \(-0{,}012\) членом геометрической прогрессии \(-48\), \(6\), \(-0{,}75\), … .
У прогрессии \(-48\), \(6\), \(-0{,}75\), … первый член \(b_1 = -48\), а знаменатель \(q = \frac{6}{-48} = -\frac{1}{8}\); третий член это подтверждает: \(6 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -0{,}75\). Значит, \(n\)-й член равен \[b_n = -48 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}.\] Чтобы выяснить, является ли данное число членом прогрессии, приравняем к нему \(b_n\) и проверим, получится ли натуральный номер.
1) Уравнение \(-48 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{3}{32}\) даёт \[\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{3}{32} : (-48) = -\frac{1}{512}.\] Степень отрицательна, значит, показатель нечётный и \(\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{1}{512} = \left(\frac{1}{8}\right)^3\). Отсюда \(n - 1 = 3\) и \(n = 4\). Номер натуральный, значит, \(\frac{3}{32}\) — четвёртый член прогрессии.
2) Уравнение \(-48 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = -0{,}012\) даёт \[\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} = -0{,}012 : (-48) = 0{,}00025 = \frac{1}{4000}.\] Знаменатель отрицателен, а степень положительна, значит, показатель чётный и \(\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{1}{4000}\), то есть \(8^{n-1} = 4000\). Но \(8^3 = 512\), \(8^4 = 4096\), а степени числа 8 возрастают, поэтому 4000 ни одной степенью восьмёрки не является и натурального \(n\) нет. Число \(-0{,}012\) членом прогрессии не является.
Ответ: 1) число \(\frac{3}{32}\) является членом прогрессии, это её четвёртый член; 2) число \(-0{,}012\) членом прогрессии не является.
