Страница 150 номер 6.3.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выяснить, является ли число: 1) \(15\); 2) \(20{,}25\) членом геометрической прогрессии \(4\), \(6\), \(9\), … .
У прогрессии \(4\), \(6\), \(9\), … первый член \(b_1 = 4\), знаменатель \(q = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\), поэтому \[b_n = 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}.\] Степени числа \(\frac{3}{2}\) с ростом показателя возрастают: \(\left(\frac{3}{2}\right)^1 = 1{,}5\), \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2{,}25\), \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = 3{,}375\), \(\left(\frac{3}{2}\right)^4 = 5{,}0625\).
1) Уравнение \(4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 15\) даёт \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{15}{4} = 3{,}75\). Число \(3{,}75\) больше \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = 3{,}375\) и меньше \(\left(\frac{3}{2}\right)^4 = 5{,}0625\), а степени числа \(\frac{3}{2}\) возрастают, поэтому ни при каком натуральном \(n\) равенство не выполняется. Число 15 членом прогрессии не является.
2) Уравнение \(4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 20{,}25\) даёт \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{20{,}25}{4} = 5{,}0625 = \left(\frac{3}{2}\right)^4\), откуда \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\). Номер натуральный, значит, число \(20{,}25\) — пятый член прогрессии.
Ответ: 1) число 15 членом прогрессии не является; 2) число \(20{,}25\) является членом прогрессии, это её пятый член.
Выяснить, является ли число: 1) \(15\); 2) \(20{,}25\) членом геометрической прогрессии \(4\), \(6\), \(9\), … .
У прогрессии \(4\), \(6\), \(9\), … первый член \(b_1 = 4\), а знаменатель \(q = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\), поэтому её \(n\)-й член равен \[b_n = 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}.\] Чтобы выяснить, является ли данное число членом прогрессии, приравняем к нему \(b_n\) и проверим, получится ли натуральный номер. Степени числа \(\frac{3}{2}\) с ростом показателя возрастают: \(\left(\frac{3}{2}\right)^1 = 1{,}5\), \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2{,}25\), \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = 3{,}375\), \(\left(\frac{3}{2}\right)^4 = 5{,}0625\).
1) Уравнение \(4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 15\) даёт \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{15}{4} = 3{,}75\). Число \(3{,}75\) больше \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = 3{,}375\) и меньше \(\left(\frac{3}{2}\right)^4 = 5{,}0625\), а степени числа \(\frac{3}{2}\) возрастают, поэтому ни при каком натуральном \(n\) равенство не выполняется. Число 15 членом прогрессии не является.
2) Уравнение \(4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 20{,}25\) даёт \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{20{,}25}{4} = 5{,}0625 = \left(\frac{3}{2}\right)^4\), откуда \(n - 1 = 4\) и \(n = 5\). Номер натуральный, значит, число \(20{,}25\) — пятый член прогрессии.
Ответ: 1) число 15 членом прогрессии не является; 2) число \(20{,}25\) является членом прогрессии, это её пятый член.
