Страница 150 номер 6.3.14, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Степень \(5^n\) при любом натуральном \(n\) положительна, поэтому \(b_n \ne 0\). \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{6 \cdot 5^{n+1}}{6 \cdot 5^n} = 5.\] Отношение постоянно, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = 5\); её первый член \(b_1 = 6 \cdot 5 = 30\).
2) Степень \(6^n\) положительна, поэтому \(b_n \ne 0\). \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{3}{7} \cdot 6^{n+1}}{\frac{3}{7} \cdot 6^n} = 6.\] Отношение постоянно, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = 6\); её первый член \(b_1 = \frac{3}{7} \cdot 6 = \frac{18}{7} = 2\frac{4}{7}\).
3) Степень числа \(-\frac{1}{6}\) в нуль не обращается, поэтому \(b_n \ne 0\). \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4\left(-\frac{1}{6}\right)^{n+2}}{4\left(-\frac{1}{6}\right)^{n+1}} = -\frac{1}{6}.\] Отношение постоянно, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = -\frac{1}{6}\); её первый член \(b_1 = 4\left(-\frac{1}{6}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{9}\).
4) Степень числа \(-2\) в нуль не обращается, поэтому \(b_n \ne 0\). \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{1}{2}(-2)^n}{\frac{1}{2}(-2)^{n-1}} = -2.\] Отношение постоянно, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = -2\); её первый член \(b_1 = \frac{1}{2}(-2)^0 = \frac{1}{2}\).
Ответ: в каждом пункте отношение соседних членов постоянно, поэтому последовательность является геометрической прогрессией: 1) \(q = 5\), \(b_1 = 30\); 2) \(q = 6\), \(b_1 = 2\frac{4}{7}\); 3) \(q = -\frac{1}{6}\), \(b_1 = \frac{1}{9}\); 4) \(q = -2\), \(b_1 = \frac{1}{2}\).
Последовательность отличных от нуля чисел является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему — одно и то же число. Поэтому в каждом пункте проверяем, что все члены отличны от нуля, и находим отношение члена с номером \(n + 1\) к члену с номером \(n\).
1) \(b_n = 6 \cdot 5^n\). Степень \(5^n\) при любом натуральном \(n\) положительна, поэтому \(b_n \ne 0\). Далее \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{6 \cdot 5^{n+1}}{6 \cdot 5^n} = 5.\] Отношение соседних членов постоянно и от номера не зависит, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = 5\); её первый член \(b_1 = 6 \cdot 5 = 30\).
2) \(b_n = \frac{3}{7} \cdot 6^n\). Степень \(6^n\) положительна, поэтому \(b_n \ne 0\). Далее \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{3}{7} \cdot 6^{n+1}}{\frac{3}{7} \cdot 6^n} = 6.\] Отношение постоянно, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = 6\); её первый член \(b_1 = \frac{3}{7} \cdot 6 = \frac{18}{7} = 2\frac{4}{7}\).
3) \(b_n = 4\left(-\frac{1}{6}\right)^{n+1}\). Степень числа \(-\frac{1}{6}\) в нуль не обращается, поэтому \(b_n \ne 0\). Далее \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4\left(-\frac{1}{6}\right)^{n+2}}{4\left(-\frac{1}{6}\right)^{n+1}} = -\frac{1}{6}.\] Отношение постоянно, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = -\frac{1}{6}\); её первый член \(b_1 = 4\left(-\frac{1}{6}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{9}\).
4) \(b_n = \frac{1}{2}(-2)^{n-1}\). Степень числа \(-2\) в нуль не обращается, поэтому \(b_n \ne 0\). Далее \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{1}{2}(-2)^n}{\frac{1}{2}(-2)^{n-1}} = -2.\] Отношение постоянно, значит, последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = -2\); её первый член \(b_1 = \frac{1}{2}(-2)^0 = \frac{1}{2}\).
Ответ: в каждом пункте отношение соседних членов постоянно, поэтому последовательность является геометрической прогрессией: 1) \(q = 5\), \(b_1 = 30\); 2) \(q = 6\), \(b_1 = 2\frac{4}{7}\); 3) \(q = -\frac{1}{6}\), \(b_1 = \frac{1}{9}\); 4) \(q = -2\), \(b_1 = \frac{1}{2}\).
