Страница 150 номер 6.3.13, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Прогрессия бесконечно убывающая, если \(|q| < 1\); сумма такой прогрессии — по формуле \[S = \frac{b_1}{1 - q}.\] Во всех пунктах \(|q| < 1\), поэтому формула применима.
1) \(S = \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 32\).
2) \(S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = 40{,}5\).
3) Знаменатель отрицательный, поэтому \(1 - q = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\), и \[S = \frac{-\frac{1}{9}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{1}{12}.\]
4) Здесь \(1 - q = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\), и \[S = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{12}.\]
5) Здесь \(1 - q = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\), и \[S = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{20} = 0{,}45.\]
6) Здесь \(1 - q = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}\), и \[S = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: 1) \(S = 32\); 2) \(S = 40{,}5\); 3) \(S = -\frac{1}{12}\); 4) \(S = -\frac{1}{12}\); 5) \(S = 0{,}45\); 6) \(S = \frac{1}{3}\).
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть \(|q| < 1\); сумма такой прогрессии находится по формуле \[S = \frac{b_1}{1 - q}.\] Во всех пунктах \(|q| < 1\), поэтому формула применима.
1) \(b_1 = 16\), \(q = \frac{1}{2}\): \(S = \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 32\).
2) \(b_1 = 27\), \(q = \frac{1}{3}\): \(S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = 40{,}5\).
3) \(b_1 = -\frac{1}{9}\), \(q = -\frac{1}{3}\). Знаменатель отрицательный, поэтому \(1 - q = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\), и \[S = \frac{-\frac{1}{9}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{1}{12}.\]
4) \(b_1 = -\frac{1}{8}\), \(q = -\frac{1}{2}\). Здесь \(1 - q = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\), и \[S = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{12}.\]
5) \(b_1 = \frac{3}{4}\), \(q = -\frac{2}{3}\). Здесь \(1 - q = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\), и \[S = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{20} = 0{,}45.\]
6) \(b_1 = \frac{2}{5}\), \(q = -\frac{1}{5}\). Здесь \(1 - q = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}\), и \[S = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: 1) \(S = 32\); 2) \(S = 40{,}5\); 3) \(S = -\frac{1}{12}\); 4) \(S = -\frac{1}{12}\); 5) \(S = 0{,}45\); 6) \(S = \frac{1}{3}\).
