Страница 150 номер 6.3.12, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) \(4\), \(2\), \(1\), …; 2) \(-1\), \(-\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{9}\), …; 3) \(27\), \(-9\), \(3\), …; 4) \(-100\), \(20\), \(-4\), … .
Прогрессия бесконечно убывающая, если \(|q| < 1\).
1) \(q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), и \(|q| = \frac{1}{2} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая.
2) \(q = -\frac{1}{3} : (-1) = \frac{1}{3}\), и \(|q| = \frac{1}{3} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая.
3) \(q = \frac{-9}{27} = -\frac{1}{3}\), и \(|q| = \frac{1}{3} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая; знаки её членов чередуются, а убывают модули членов.
4) \(q = \frac{20}{-100} = -\frac{1}{5}\), и \(|q| = \frac{1}{5} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая; её члены тоже чередуют знак, а модули их убывают.
Ответ: 1) \(q = \frac{1}{2}\); 2) \(q = \frac{1}{3}\); 3) \(q = -\frac{1}{3}\); 4) \(q = -\frac{1}{5}\) — в каждом случае \(|q| < 1\), поэтому прогрессия бесконечно убывающая.
Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) \(4\), \(2\), \(1\), …; 2) \(-1\), \(-\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{9}\), …; 3) \(27\), \(-9\), \(3\), …; 4) \(-100\), \(20\), \(-4\), … .
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть \(|q| < 1\). Поэтому в каждом пункте достаточно найти знаменатель как отношение второго члена к первому и сравнить его модуль с единицей.
1) \(4\), \(2\), \(1\), …: \(q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), и \(|q| = \frac{1}{2} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая.
2) \(-1\), \(-\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{9}\), …: \(q = -\frac{1}{3} : (-1) = \frac{1}{3}\), и \(|q| = \frac{1}{3} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая.
3) \(27\), \(-9\), \(3\), …: \(q = \frac{-9}{27} = -\frac{1}{3}\), и \(|q| = \frac{1}{3} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая. Знаки её членов чередуются, а убывают модули членов.
4) \(-100\), \(20\), \(-4\), …: \(q = \frac{20}{-100} = -\frac{1}{5}\), и \(|q| = \frac{1}{5} < 1\). Значит, прогрессия бесконечно убывающая; её члены тоже чередуют знак, а модули их убывают.
Ответ: 1) \(q = \frac{1}{2}\); 2) \(q = \frac{1}{3}\); 3) \(q = -\frac{1}{3}\); 4) \(q = -\frac{1}{5}\) — в каждом случае \(|q| < 1\), поэтому прогрессия бесконечно убывающая.
