Страница 150 номер 6.3.11, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти первый член геометрической прогрессии, если: 1) \(S_4 = 560\), \(q = 3\); 2) \(S_5 = -310\), \(q = 2\); 3) \(S_5 = -5\frac{1}{2}\), \(q = -\frac{1}{2}\); 4) \(S_4 = 22\frac{1}{2}\), \(q = \frac{1}{2}\).
Первый член находим из формулы суммы первых \(n\) членов \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\]
1) \(S_4 = \frac{b_1(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{80 b_1}{2} = 40 b_1\). Из \(40b_1 = 560\) получаем \(b_1 = 14\).
2) \(S_5 = \frac{b_1(2^5 - 1)}{2 - 1} = 31 b_1\). Из \(31b_1 = -310\) получаем \(b_1 = -10\).
3) \(S_5 = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2}\), и \[S_5 = \frac{b_1\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^5 - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{33}{32} b_1}{-\frac{3}{2}} = \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} b_1 = \frac{11}{16} b_1.\] Из \(\frac{11}{16} b_1 = -\frac{11}{2}\) получаем \(b_1 = -\frac{11}{2} \cdot \frac{16}{11} = -8\).
4) \(S_4 = 22\frac{1}{2} = \frac{45}{2}\), и \[S_4 = \frac{b_1\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{15}{16} b_1}{-\frac{1}{2}} = \frac{15}{16} \cdot 2 b_1 = \frac{15}{8} b_1.\] Из \(\frac{15}{8} b_1 = \frac{45}{2}\) получаем \(b_1 = \frac{45}{2} \cdot \frac{8}{15} = 12\).
Ответ: 1) \(b_1 = 14\); 2) \(b_1 = -10\); 3) \(b_1 = -8\); 4) \(b_1 = 12\).
Найти первый член геометрической прогрессии, если: 1) \(S_4 = 560\), \(q = 3\); 2) \(S_5 = -310\), \(q = 2\); 3) \(S_5 = -5\frac{1}{2}\), \(q = -\frac{1}{2}\); 4) \(S_4 = 22\frac{1}{2}\), \(q = \frac{1}{2}\).
Первый член находим из формулы суммы первых \(n\) членов \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\] Известные \(q\), \(n\) и \(S_n\) дают уравнение относительно \(b_1\).
1) \(S_4 = 560\), \(q = 3\). Здесь \(S_4 = \frac{b_1(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{80 b_1}{2} = 40 b_1\). Из \(40b_1 = 560\) получаем \(b_1 = 14\).
2) \(S_5 = -310\), \(q = 2\). Здесь \(S_5 = \frac{b_1(2^5 - 1)}{2 - 1} = 31 b_1\). Из \(31b_1 = -310\) получаем \(b_1 = -10\).
3) \(S_5 = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2}\), \(q = -\frac{1}{2}\). Здесь \[S_5 = \frac{b_1\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^5 - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{33}{32} b_1}{-\frac{3}{2}} = \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} b_1 = \frac{11}{16} b_1.\] Из \(\frac{11}{16} b_1 = -\frac{11}{2}\) получаем \(b_1 = -\frac{11}{2} \cdot \frac{16}{11} = -8\).
4) \(S_4 = 22\frac{1}{2} = \frac{45}{2}\), \(q = \frac{1}{2}\). Здесь \[S_4 = \frac{b_1\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{15}{16} b_1}{-\frac{1}{2}} = \frac{15}{16} \cdot 2 b_1 = \frac{15}{8} b_1.\] Из \(\frac{15}{8} b_1 = \frac{45}{2}\) получаем \(b_1 = \frac{45}{2} \cdot \frac{8}{15} = 12\).
Ответ: 1) \(b_1 = 14\); 2) \(b_1 = -10\); 3) \(b_1 = -8\); 4) \(b_1 = 12\).
