Страница 148 номер 6.2.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Числа \(a\), \(b\), \(c\) составляют возрастающую арифметическую прогрессию, поэтому крайние отстоят от среднего на разность \(d\): \[a = b - d,\qquad c = b + d,\qquad d > 0.\]
Сгруппируем первый множитель с третьим: \[(x - a)(x - b)(x - c) = \left(x - b + d\right)\left(x - b - d\right)(x - b) = \left((x - b)^2 - d^2\right)(x - b).\]
По формуле куба разности \[\begin{aligned} &\left((x - b)^2 - d^2\right)(x - b) = (x - b)^3 - d^2(x - b) = {} \\ &= x^3 - 3bx^2 + 3b^2x - b^3 - d^2x + d^2b = {} \\ &= x^3 - 3bx^2 + \left(3b^2 - d^2\right)x - b^3 + d^2b. \end{aligned}\]
Полученный многочлен совпадает с многочленом \(x^3 - 6x^2 - 4x + k\), значит, равны коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и равны свободные члены: \[-3b = -6,\qquad 3b^2 - d^2 = -4,\qquad -b^3 + d^2b = k.\]
Из первого равенства \(b = 2\), подставим его во второе: \[3 \cdot 2^2 - d^2 = -4,\qquad 12 - d^2 = -4,\qquad d^2 = 16,\qquad d = \pm 4.\]
Прогрессия возрастающая, то есть \(d > 0\), поэтому \(d = 4\). Тогда \[a = 2 - 4 = -2,\qquad c = 2 + 4 = 6,\] \[k = -2^3 + 4^2 \cdot 2 = -8 + 32 = 24.\]
Проверка: \((x + 2)(x - 2)(x - 6) = \left(x^2 - 4\right)(x - 6) = x^3 - 6x^2 - 4x + 24\).
Ответ: прогрессия \(-2\); 2; 6, \(k = 24\).
Числа \(a\), \(b\), \(c\) составляют возрастающую арифметическую прогрессию, поэтому средний член \(b\) равен среднему арифметическому крайних, а крайние отстоят от него на разность \(d\): \[a = b - d,\qquad c = b + d,\qquad d > 0.\]
Упростим произведение, сгруппировав первый множитель с третьим: \[(x - a)(x - b)(x - c) = \left(x - b + d\right)\left(x - b - d\right)(x - b) = \left((x - b)^2 - d^2\right)(x - b).\]
Раскроем скобки, пользуясь формулой куба разности: \[\begin{aligned} &\left((x - b)^2 - d^2\right)(x - b) = (x - b)^3 - d^2(x - b) = {} \\ &= x^3 - 3bx^2 + 3b^2x - b^3 - d^2x + d^2b = {} \\ &= x^3 - 3bx^2 + \left(3b^2 - d^2\right)x - b^3 + d^2b. \end{aligned}\]
Полученный многочлен совпадает с многочленом \(x^3 - 6x^2 - 4x + k\), значит, равны коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и равны свободные члены: \[-3b = -6,\qquad 3b^2 - d^2 = -4,\qquad -b^3 + d^2b = k.\]
Из первого равенства \(b = 2\). Подставим во второе: \[3 \cdot 2^2 - d^2 = -4,\qquad 12 - d^2 = -4,\qquad d^2 = 16,\qquad d = \pm 4.\]
Прогрессия возрастающая, то есть \(d > 0\), поэтому \(d = 4\). Тогда \[a = 2 - 4 = -2,\qquad c = 2 + 4 = 6,\] \[k = -2^3 + 4^2 \cdot 2 = -8 + 32 = 24.\]
Проверка: \((x + 2)(x - 2)(x - 6) = \left(x^2 - 4\right)(x - 6) = x^3 - 6x^2 - 4x + 24\).
Ответ: прогрессия \(-2\); 2; 6, \(k = 24\).
