Страница 148 номер 6.2.54, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Дано:
31 день в октябре
\(a_n\) — число ошибок в \(n\)-й день октября
\((a_n)\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d\)
\(0 \leqslant a_n \leqslant 150\), число \(a_n\) целое
сумма ошибок за нечётные дни — 880

Найти: 1) наибольшее возможное \(a_{31}\); 2) наибольшее возможное \(a_{15}\).

Решение:

Каждый день число ошибок уменьшается на одно и то же число, поэтому числа ошибок по дням образуют арифметическую прогрессию с отрицательной разностью \(d\). Число ошибок за день целое, значит, целым числом является и разность \(d = a_2 - a_1\); следовательно, \(d \leqslant -1\). Кроме того, диктант состоит из 150 слов, поэтому \(0 \leqslant a_n \leqslant 150\) при каждом \(n\).

Нечётные дни октября — это 1, 3, 5, …, 31; их номера образуют арифметическую прогрессию с разностью 2, и число этих дней равно \(\frac{31 - 1}{2} + 1 = 16\). Ошибки за нечётные дни тоже образуют арифметическую прогрессию: её первый член \(a_1\), последний \(a_{31}\), а число членов 16. По формуле суммы \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\): \[\frac{(a_1 + a_{31}) \cdot 16}{2} = 880,\qquad 8(a_1 + a_{31}) = 880,\qquad a_1 + a_{31} = 110.\]

По формуле \(n\)-го члена \(a_{31} = a_1 + 30d\), откуда \(a_1 = a_{31} - 30d\). Подставим это в полученное равенство: \[a_{31} - 30d + a_{31} = 110,\qquad 2a_{31} = 110 + 30d,\qquad a_{31} = 55 + 15d.\]

Тогда и первый член выражается через разность: \(a_1 = 110 - a_{31} = 55 - 15d\).

1) Выражение \(55 + 15d\) тем больше, чем больше \(d\), а наибольшее допустимое значение разности \(d = -1\). При нём \[a_{31} = 55 + 15 \cdot (-1) = 40.\]

Такой случай возможен: при \(d = -1\) первый член \(a_1 = 55 + 15 = 70\), числа ошибок убывают от 70 до 40 — все они целые, неотрицательные и не больше 150.

2) Пятнадцатый член выразим через разность: \[a_{15} = a_1 + 14d = (55 - 15d) + 14d = 55 - d.\]

Выражение \(55 - d\) тем больше, чем меньше \(d\). Уменьшать разность мешает требование, чтобы число ошибок было неотрицательным: наименьшее число ошибок приходится на 31 октября, поэтому \[a_{31} \geqslant 0,\qquad 55 + 15d \geqslant 0,\qquad 15d \geqslant -55,\qquad d \geqslant -3\frac{2}{3}.\]

Разность — целое число, поэтому наименьшее допустимое значение \(d = -3\). При нём \[a_{15} = 55 - (-3) = 58.\]

Такой случай возможен: при \(d = -3\) первый член \(a_1 = 55 + 45 = 100\), числа ошибок убывают от 100 до \(a_{31} = 55 - 45 = 10\) — все они целые, неотрицательные и не больше 150.

Ответ: 1) 40 ошибок; 2) 58 ошибок.