Страница 148 номер 6.2.52, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти все значения \(x\), при которых числа \(x\), \(x - \frac{1}{4}\), \(\sqrt{x}\), взятые в некотором порядке, образуют арифметическую прогрессию.
Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\) — это область допустимых значений.
Порядок чисел неизвестен, поэтому разберём три случая — по тому, какое из чисел стоит посередине; удвоенный средний член равен сумме крайних. Обозначим \(t = \sqrt{x}\), тогда \(t \geqslant 0\) и \(x = t^2\).
Случай 1. Посередине стоит \(x\): \[2x = \left(x - \frac{1}{4}\right) + \sqrt{x},\qquad x + \frac{1}{4} = \sqrt{x},\qquad t^2 - t + \frac{1}{4} = 0.\]
Слева полный квадрат: \(\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 = 0\), откуда \(t = \frac{1}{2}\) и \(x = \frac{1}{4}\). Данные числа при этом равны \(\frac{1}{4}\); 0; \(\frac{1}{2}\) и в порядке 0; \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{2}\) образуют прогрессию с разностью \(\frac{1}{4}\).
Случай 2. Посередине стоит \(x - \frac{1}{4}\): \[2\left(x - \frac{1}{4}\right) = x + \sqrt{x},\qquad x - \sqrt{x} - \frac{1}{2} = 0,\qquad 2t^2 - 2t - 1 = 0.\]
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12\), \(\sqrt{D} = 2\sqrt{3}\), поэтому \(t = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}\).
Так как \(\sqrt{3} > 1\), значение \(t = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\) отрицательно и не подходит; остаётся \(t = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\), откуда \[\begin{aligned} &x = t^2 = \frac{\left(1 + \sqrt{3}\right)^2}{4} = {} \\ &= \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}\]
Случай 3. Посередине стоит \(\sqrt{x}\): \[2\sqrt{x} = x + \left(x - \frac{1}{4}\right),\qquad 2t = 2t^2 - \frac{1}{4},\qquad 8t^2 - 8t - 1 = 0.\]
\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 64 + 32 = 96\), \(\sqrt{D} = 4\sqrt{6}\), поэтому \(t = \frac{8 \pm 4\sqrt{6}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{4}\).
Так как \(\sqrt{6} > 2\), значение \(t = \frac{2 - \sqrt{6}}{4}\) отрицательно и не подходит; остаётся \(t = \frac{2 + \sqrt{6}}{4}\), откуда \[\begin{aligned} &x = t^2 = \frac{\left(2 + \sqrt{6}\right)^2}{16} = {} \\ &= \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{16} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{16} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{8}. \end{aligned}\]
Все три найденных значения неотрицательны, то есть входят в область допустимых значений.
Ответ: \(x_1 = \frac{1}{4}\), \(x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{8}\), \(x_3 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Найти все значения \(x\), при которых числа \(x\), \(x - \frac{1}{4}\), \(\sqrt{x}\), взятые в некотором порядке, образуют арифметическую прогрессию.
Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\) — это область допустимых значений.
Порядок чисел неизвестен, поэтому разберём три случая — по тому, какое из чисел стоит в прогрессии посередине. Средний член равен среднему арифметическому двух других, то есть удвоенный средний равен сумме крайних. Во всех случаях обозначим \(t = \sqrt{x}\), тогда \(t \geqslant 0\) и \(x = t^2\).
Случай 1. Посередине стоит \(x\): \[2x = \left(x - \frac{1}{4}\right) + \sqrt{x},\qquad x + \frac{1}{4} = \sqrt{x},\qquad t^2 - t + \frac{1}{4} = 0.\]
Слева полный квадрат: \(\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 = 0\), откуда \(t = \frac{1}{2}\) и \(x = \frac{1}{4}\). Данные числа при этом равны \(\frac{1}{4}\); 0; \(\frac{1}{2}\) и в порядке 0; \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{2}\) образуют прогрессию с разностью \(\frac{1}{4}\).
Случай 2. Посередине стоит \(x - \frac{1}{4}\): \[2\left(x - \frac{1}{4}\right) = x + \sqrt{x},\qquad x - \sqrt{x} - \frac{1}{2} = 0,\qquad 2t^2 - 2t - 1 = 0.\]
Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12\), \(\sqrt{D} = 2\sqrt{3}\), поэтому \[t = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}.\]
Так как \(\sqrt{3} > 1\), значение \(t = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\) отрицательно и не подходит. Остаётся \(t = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\), откуда \[\begin{aligned} &x = t^2 = \frac{\left(1 + \sqrt{3}\right)^2}{4} = {} \\ &= \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}\]
Случай 3. Посередине стоит \(\sqrt{x}\): \[2\sqrt{x} = x + \left(x - \frac{1}{4}\right),\qquad 2t = 2t^2 - \frac{1}{4},\qquad 8t^2 - 8t - 1 = 0.\]
Дискриминант \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 64 + 32 = 96\), \(\sqrt{D} = 4\sqrt{6}\), поэтому \[t = \frac{8 \pm 4\sqrt{6}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{4}.\]
Так как \(\sqrt{6} > 2\), значение \(t = \frac{2 - \sqrt{6}}{4}\) отрицательно и не подходит. Остаётся \(t = \frac{2 + \sqrt{6}}{4}\), откуда \[\begin{aligned} &x = t^2 = \frac{\left(2 + \sqrt{6}\right)^2}{16} = {} \\ &= \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{16} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{16} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{8}. \end{aligned}\]
Все три найденных значения неотрицательны, то есть входят в область допустимых значений.
Ответ: \(x_1 = \frac{1}{4}\), \(x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{8}\), \(x_3 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\).
