Страница 148 номер 6.2.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Нецелые числа \(a\), \(a + 1\), \(3a^2\), взятые в некотором порядке, образуют арифметическую прогрессию. Найти все значения \(a\), при которых эти числа: 1) рациональные; 2) иррациональные.
Порядок чисел неизвестен, поэтому разберём три случая — по тому, какое из чисел стоит посередине; удвоенный средний член равен сумме крайних.
Случай 1. Посередине стоит \(a\): \[2a = (a + 1) + 3a^2,\qquad 3a^2 - a + 1 = 0.\]
\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0\), корней нет — случай невозможен.
Случай 2. Посередине стоит \(a + 1\): \[2(a + 1) = a + 3a^2,\qquad 3a^2 - a - 2 = 0.\]
\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), поэтому \(a = \frac{1 \pm 5}{6}\), то есть \(a = \frac{1 + 5}{6} = 1\) или \(a = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3}\).
При \(a = 1\) данные числа равны 1; 2; 3 — они целые, а по условию числа нецелые, поэтому \(a = 1\) не подходит. При \(a = -\frac{2}{3}\) данные числа равны \(-\frac{2}{3}\); \(\frac{1}{3}\); \(\frac{4}{3}\): они нецелые и рациональные и идут с разностью 1.
Случай 3. Посередине стоит \(3a^2\): \[2 \cdot 3a^2 = a + (a + 1),\qquad 6a^2 - 2a - 1 = 0.\]
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 4 + 24 = 28\), \(\sqrt{D} = 2\sqrt{7}\), поэтому \[a = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6}.\]
Число \(\sqrt{7}\) иррационально, поэтому иррационально и каждое из этих значений \(a\), а с ним и \(a + 1\); из равенства \(6a^2 = 2a + 1\) получаем \(3a^2 = a + \frac{1}{2}\) — тоже иррациональное число. Значит, все три данных числа иррациональны и, в частности, нецелые.
Рациональными данные числа оказываются только в случае 2, иррациональными — только в случае 3.
Ответ: 1) \(a = -\frac{2}{3}\); 2) \(a = \frac{1 - \sqrt{7}}{6}\) и \(a = \frac{1 + \sqrt{7}}{6}\).
Нецелые числа \(a\), \(a + 1\), \(3a^2\), взятые в некотором порядке, образуют арифметическую прогрессию. Найти все значения \(a\), при которых эти числа: 1) рациональные; 2) иррациональные.
Порядок чисел неизвестен, поэтому разберём три случая — по тому, какое из чисел стоит в прогрессии посередине. Средний член равен среднему арифметическому двух других, то есть удвоенный средний равен сумме крайних.
Случай 1. Посередине стоит \(a\): \[2a = (a + 1) + 3a^2,\qquad 3a^2 - a + 1 = 0.\]
Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0\), корней нет. Этот случай невозможен.
Случай 2. Посередине стоит \(a + 1\): \[2(a + 1) = a + 3a^2,\qquad 3a^2 - a - 2 = 0.\]
Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), поэтому \[a = \frac{1 \pm 5}{6}.\]
Отсюда \(a = \frac{1 + 5}{6} = 1\) или \(a = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3}\).
При \(a = 1\) данные числа равны 1; 2; 3 — все они целые, а по условию числа нецелые, поэтому значение \(a = 1\) не подходит. При \(a = -\frac{2}{3}\) данные числа равны \(-\frac{2}{3}\); \(\frac{1}{3}\); \(\frac{4}{3}\): они нецелые и рациональные и идут с разностью 1.
Случай 3. Посередине стоит \(3a^2\): \[2 \cdot 3a^2 = a + (a + 1),\qquad 6a^2 - 2a - 1 = 0.\]
Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 4 + 24 = 28\), \(\sqrt{D} = 2\sqrt{7}\), поэтому \[a = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6}.\]
Число \(\sqrt{7}\) иррационально, поэтому иррационально и каждое из этих значений \(a\); тогда иррационально и \(a + 1\), а из равенства \(6a^2 = 2a + 1\) получаем \(3a^2 = a + \frac{1}{2}\) — тоже иррациональное число. Значит, все три данных числа иррациональны и, в частности, нецелые.
Рациональными данные числа оказываются только в случае 2, иррациональными — только в случае 3.
Ответ: 1) \(a = -\frac{2}{3}\); 2) \(a = \frac{1 - \sqrt{7}}{6}\) и \(a = \frac{1 + \sqrt{7}}{6}\).
