Страница 147 номер 6.2.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти сумму всех натуральных чисел, меньших тысячи, которые при делении на 5 дают в остатке 3, а на 7 делятся без остатка.
Наименьшее число, кратное семи и дающее при делении на 5 остаток 3, ищем перебором: \(7 = 5 \cdot 1 + 2\), \(14 = 5 \cdot 2 + 4\), \(21 = 5 \cdot 4 + 1\), \(28 = 5 \cdot 5 + 3\). Первое подходящее число — 28.
Разность двух чисел с обоими нужными свойствами делится и на 7, и на 5, то есть делится на 35 — наименьшее общее кратное чисел 5 и 7; наоборот, прибавление 35 сохраняет оба свойства.
Значит, все нужные числа образуют арифметическую прогрессию \[28;\ 63;\ 98;\ \ldots,\] у которой \(a_1 = 28\) и \(d = 35\). По формуле \(n\)-го члена \[a_n = a_1 + d(n - 1) = 28 + 35(n - 1) = 35n - 7.\]
Числа меньше тысячи: \[35n - 7 < 1000,\qquad 35n < 1007,\qquad n < 28\frac{27}{35}.\]
Наибольшее натуральное \(n\) равно 28: подходящих чисел двадцать восемь, и последнее из них \[a_{28} = 35 \cdot 28 - 7 = 980 - 7 = 973.\]
По формуле суммы первых \(n\) членов \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\): \[S_{28} = \frac{(28 + 973) \cdot 28}{2} = \frac{1001 \cdot 28}{2} = 1001 \cdot 14 = 14\,014.\]
Ответ: \(14\,014\).
Найти сумму всех натуральных чисел, меньших тысячи, которые при делении на 5 дают в остатке 3, а на 7 делятся без остатка.
Найдём наименьшее натуральное число, которое делится на 7 и при делении на 5 даёт в остатке 3. Перебираем числа, кратные семи: \(7 = 5 \cdot 1 + 2\), \(14 = 5 \cdot 2 + 4\), \(21 = 5 \cdot 4 + 1\), \(28 = 5 \cdot 5 + 3\). Первое подходящее число — 28.
Пусть два числа обладают обоими нужными свойствами. Тогда их разность делится на 7 (оба числа кратны семи) и делится на 5 (оба дают при делении на 5 один и тот же остаток 3). Наименьшее общее кратное чисел 5 и 7 равно 35, поэтому разность делится на 35. Наоборот, если к подходящему числу прибавить 35, то новое число снова будет кратно семи и снова даст при делении на 5 остаток 3.
Значит, все нужные числа образуют арифметическую прогрессию \[28;\ 63;\ 98;\ \ldots,\] у которой \(a_1 = 28\) и \(d = 35\). По формуле \(n\)-го члена \[a_n = a_1 + d(n - 1) = 28 + 35(n - 1) = 35n - 7.\]
Числа должны быть меньше тысячи, поэтому решаем неравенство \[35n - 7 < 1000,\qquad 35n < 1007,\qquad n < 28\frac{27}{35}.\]
Наибольшее натуральное \(n\), удовлетворяющее этому неравенству, равно 28: подходящих чисел двадцать восемь. Последнее из них \[a_{28} = 35 \cdot 28 - 7 = 980 - 7 = 973.\]
Сумму находим по формуле \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\): \[S_{28} = \frac{(28 + 973) \cdot 28}{2} = \frac{1001 \cdot 28}{2} = 1001 \cdot 14 = 14\,014.\]
Ответ: \(14\,014\).
