Страница 147 номер 6.2.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти все значения \(x\), при которых числа \(x + 6\), \(x^2 + 5\) и \(3x^2 + 2\) в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Три числа — последовательные члены арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда удвоенное среднее равно сумме крайних: \[2(x^2 + 5) = (x + 6) + (3x^2 + 2).\]
\[2x^2 + 10 = 3x^2 + x + 8,\qquad x^2 + x - 2 = 0.\]
По теореме Виета сумма корней равна \(-1\), а произведение равно \(-2\), поэтому \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\).
При \(x = -2\) данные числа равны 4; 9; 14 — разность прогрессии 5. При \(x = 1\) данные числа равны 7; 6; 5 — разность прогрессии \(-1\). Оба значения подходят.
Ответ: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\).
Найти все значения \(x\), при которых числа \(x + 6\), \(x^2 + 5\) и \(3x^2 + 2\) в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда среднее из них равно среднему арифметическому крайних, то есть удвоенное среднее равно сумме крайних: \[2(x^2 + 5) = (x + 6) + (3x^2 + 2).\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \[2x^2 + 10 = 3x^2 + x + 8,\qquad x^2 + x - 2 = 0.\]
По теореме Виета сумма корней равна \(-1\), а произведение равно \(-2\), поэтому \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\).
При \(x = -2\) данные числа равны 4; 9; 14 — разность прогрессии 5. При \(x = 1\) данные числа равны 7; 6; 5 — разность прогрессии \(-1\). Оба значения подходят.
Ответ: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\).
