Страница 147 номер 6.2.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти все значения \(x\), при которых числа \(x^2 + 1\), \(x + 5\) и \(7x^2 + 3\) в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Три числа — последовательные члены арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда удвоенное среднее равно сумме крайних: \[2(x + 5) = (x^2 + 1) + (7x^2 + 3).\]
\[2x + 10 = 8x^2 + 4,\qquad 8x^2 - 2x - 6 = 0,\qquad 4x^2 - x - 3 = 0.\]
\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\): \[x = \frac{1 \pm 7}{8},\qquad x_1 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4},\qquad x_2 = \frac{1 + 7}{8} = 1.\]
При \(x = -\frac{3}{4}\) данные числа равны \(1\frac{9}{16}\); \(4\frac{1}{4}\); \(6\frac{15}{16}\) — разность прогрессии \(2\frac{11}{16}\). При \(x = 1\) данные числа равны 2; 6; 10 — разность прогрессии 4. Оба значения подходят.
Ответ: \(x_1 = -\frac{3}{4}\), \(x_2 = 1\).
Найти все значения \(x\), при которых числа \(x^2 + 1\), \(x + 5\) и \(7x^2 + 3\) в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда среднее из них равно среднему арифметическому крайних, то есть удвоенное среднее равно сумме крайних: \[2(x + 5) = (x^2 + 1) + (7x^2 + 3).\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \[2x + 10 = 8x^2 + 4,\qquad 8x^2 - 2x - 6 = 0,\qquad 4x^2 - x - 3 = 0.\]
Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\). Корни: \[x = \frac{1 \pm 7}{8},\qquad x_1 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4},\qquad x_2 = \frac{1 + 7}{8} = 1.\]
При \(x = -\frac{3}{4}\) данные числа равны \(1\frac{9}{16}\); \(4\frac{1}{4}\); \(6\frac{15}{16}\) — разность прогрессии \(2\frac{11}{16}\). При \(x = 1\) данные числа равны 2; 6; 10 — разность прогрессии 4. Оба значения подходят.
Ответ: \(x_1 = -\frac{3}{4}\), \(x_2 = 1\).
