Страница 147 номер 6.2.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В арифметической прогрессии найти: 1) \(a_2 + a_9 + a_{13} + a_{20}\), если \(a_4 + a_{18} = 15\); 2) \(a_1 + a_8 + a_{10} + a_{17}\), если \(a_5 + a_{13} = -3\).
1) По формуле \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + d(n - 1)\): \[a_2 + a_{20} = (a_1 + d) + (a_1 + 19d) = 2a_1 + 20d,\] \[a_9 + a_{13} = (a_1 + 8d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 20d,\] \[a_4 + a_{18} = (a_1 + 3d) + (a_1 + 17d) = 2a_1 + 20d.\]
У всех трёх пар сумма номеров равна 22, поэтому все три суммы равны 15. Искомая сумма распадается на две такие пары: \[a_2 + a_9 + a_{13} + a_{20} = (a_2 + a_{20}) + (a_9 + a_{13}) = 15 + 15 = 30.\]
2) Так же: \[a_1 + a_{17} = a_1 + (a_1 + 16d) = 2a_1 + 16d,\] \[a_8 + a_{10} = (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 16d,\] \[a_5 + a_{13} = (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 16d.\]
У всех трёх пар сумма номеров равна 18, поэтому все три суммы равны \(-3\). Значит, \[a_1 + a_8 + a_{10} + a_{17} = (a_1 + a_{17}) + (a_8 + a_{10}) = -3 + (-3) = -6.\]
Ответ: 1) \(a_2 + a_9 + a_{13} + a_{20} = 30\); 2) \(a_1 + a_8 + a_{10} + a_{17} = -6\).
В арифметической прогрессии найти: 1) \(a_2 + a_9 + a_{13} + a_{20}\), если \(a_4 + a_{18} = 15\); 2) \(a_1 + a_8 + a_{10} + a_{17}\), если \(a_5 + a_{13} = -3\).
1) Выразим члены через первый член и разность по формуле \(a_n = a_1 + d(n - 1)\): \[a_2 + a_{20} = (a_1 + d) + (a_1 + 19d) = 2a_1 + 20d,\] \[a_9 + a_{13} = (a_1 + 8d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 20d,\] \[a_4 + a_{18} = (a_1 + 3d) + (a_1 + 17d) = 2a_1 + 20d.\]
У всех трёх пар сумма номеров равна 22, и все три суммы равны одному и тому же выражению \(2a_1 + 20d\), то есть числу 15. Искомая сумма распадается на две такие пары: \[a_2 + a_9 + a_{13} + a_{20} = (a_2 + a_{20}) + (a_9 + a_{13}) = 15 + 15 = 30.\]
2) Так же выразим члены через \(a_1\) и \(d\): \[a_1 + a_{17} = a_1 + (a_1 + 16d) = 2a_1 + 16d,\] \[a_8 + a_{10} = (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 16d,\] \[a_5 + a_{13} = (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 16d.\]
У всех трёх пар сумма номеров равна 18, поэтому все три суммы равны \(-3\). Значит, \[a_1 + a_8 + a_{10} + a_{17} = (a_1 + a_{17}) + (a_8 + a_{10}) = -3 + (-3) = -6.\]
Ответ: 1) \(a_2 + a_9 + a_{13} + a_{20} = 30\); 2) \(a_1 + a_8 + a_{10} + a_{17} = -6\).
