Страница 147 номер 6.2.43, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти в арифметической прогрессии: 1) \(a_8 + a_{13}\), если \(a_{10} + a_{11} = 26\); 2) \(a_{10} + a_{23}\), если \(a_{15} + a_{18} = -41\).
1) По формуле \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + d(n - 1)\): \[a_8 + a_{13} = (a_1 + 7d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 19d,\] \[a_{10} + a_{11} = (a_1 + 9d) + (a_1 + 10d) = 2a_1 + 19d.\]
Сумма номеров и там, и там равна 21, обе суммы равны одному и тому же выражению \(2a_1 + 19d\), поэтому \(a_8 + a_{13} = a_{10} + a_{11} = 26\).
2) Так же: \[a_{10} + a_{23} = (a_1 + 9d) + (a_1 + 22d) = 2a_1 + 31d,\] \[a_{15} + a_{18} = (a_1 + 14d) + (a_1 + 17d) = 2a_1 + 31d.\]
Сумма номеров и там, и там равна 33, обе суммы равны \(2a_1 + 31d\), поэтому \(a_{10} + a_{23} = a_{15} + a_{18} = -41\).
Ответ: 1) \(a_8 + a_{13} = 26\); 2) \(a_{10} + a_{23} = -41\).
Найти в арифметической прогрессии: 1) \(a_8 + a_{13}\), если \(a_{10} + a_{11} = 26\); 2) \(a_{10} + a_{23}\), если \(a_{15} + a_{18} = -41\).
1) Выразим все четыре члена через первый член и разность по формуле \(a_n = a_1 + d(n - 1)\): \[a_8 + a_{13} = (a_1 + 7d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 19d,\] \[a_{10} + a_{11} = (a_1 + 9d) + (a_1 + 10d) = 2a_1 + 19d.\]
Обе суммы равны одному и тому же выражению \(2a_1 + 19d\) (сумма номеров и там, и там равна 21), поэтому \(a_8 + a_{13} = a_{10} + a_{11} = 26\).
2) Так же выразим члены через \(a_1\) и \(d\): \[a_{10} + a_{23} = (a_1 + 9d) + (a_1 + 22d) = 2a_1 + 31d,\] \[a_{15} + a_{18} = (a_1 + 14d) + (a_1 + 17d) = 2a_1 + 31d.\]
Обе суммы равны \(2a_1 + 31d\) (сумма номеров и там, и там равна 33), поэтому \(a_{10} + a_{23} = a_{15} + a_{18} = -41\).
Ответ: 1) \(a_8 + a_{13} = 26\); 2) \(a_{10} + a_{23} = -41\).
