Страница 147 номер 6.2.40, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Из формулы суммы \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\) находим первый член, затем из формулы \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) — разность.
1) \(a_6 = -17\), \(S_6 = -57\). \[S_6 = \frac{(a_1 + a_6) \cdot 6}{2} = (a_1 - 17) \cdot 3 = -57,\] откуда \(a_1 - 17 = -19\) и \(a_1 = -2\).
От первого члена до шестого пять шагов, поэтому \(a_6 = a_1 + 5d\): \[-17 = -2 + 5d,\qquad 5d = -15,\qquad d = -3.\]
2) \(a_{10} = -0{,}6\), \(S_{10} = -15\). \[S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = (a_1 - 0{,}6) \cdot 5 = -15,\] откуда \(a_1 - 0{,}6 = -3\) и \(a_1 = -2{,}4\).
От первого члена до десятого девять шагов, поэтому \(a_{10} = a_1 + 9d\): \[-0{,}6 = -2{,}4 + 9d,\qquad 9d = 1{,}8,\qquad d = 0{,}2.\]
3) \(a_{13} = -1\frac{1}{3}\), \(S_{13} = -4\frac{1}{3}\). \[S_{13} = \frac{\left(a_1 - 1\frac{1}{3}\right) \cdot 13}{2} = -\frac{13}{3},\] откуда \(\left(a_1 - \frac{4}{3}\right) \cdot 13 = -\frac{26}{3}\), значит, \(a_1 - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}\) и \(a_1 = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\).
От первого члена до тринадцатого двенадцать шагов, поэтому \(a_{13} = a_1 + 12d\): \[-\frac{4}{3} = \frac{2}{3} + 12d,\qquad 12d = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -2,\qquad d = -\frac{1}{6}.\]
4) \(a_{11} = 1\frac{2}{3}\), \(S_{11} = 13\frac{3}{4}\). \[S_{11} = \frac{\left(a_1 + 1\frac{2}{3}\right) \cdot 11}{2} = \frac{55}{4},\] откуда \(\left(a_1 + \frac{5}{3}\right) \cdot 11 = \frac{55}{2}\), значит, \(a_1 + \frac{5}{3} = \frac{5}{2}\) и \(a_1 = \frac{5}{2} - \frac{5}{3} = \frac{15 - 10}{6} = \frac{5}{6}\).
От первого члена до одиннадцатого десять шагов, поэтому \(a_{11} = a_1 + 10d\): \[\frac{5}{3} = \frac{5}{6} + 10d,\qquad 10d = \frac{10 - 5}{6} = \frac{5}{6},\qquad d = \frac{1}{12}.\]
Ответ: 1) \(a_1 = -2\), \(d = -3\); 2) \(a_1 = -2{,}4\), \(d = 0{,}2\); 3) \(a_1 = \frac{2}{3}\), \(d = -\frac{1}{6}\); 4) \(a_1 = \frac{5}{6}\), \(d = \frac{1}{12}\).
В каждом пункте известны член прогрессии с некоторым номером и сумма всех членов до него включительно. Из формулы суммы \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\) находим первый член, а затем из формулы \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) — разность.
1) \(a_6 = -17\), \(S_6 = -57\). \[S_6 = \frac{(a_1 + a_6) \cdot 6}{2} = (a_1 - 17) \cdot 3 = -57,\] откуда \(a_1 - 17 = -19\) и \(a_1 = -2\).
От первого члена до шестого пять шагов, поэтому \(a_6 = a_1 + 5d\): \[-17 = -2 + 5d,\qquad 5d = -15,\qquad d = -3.\]
2) \(a_{10} = -0{,}6\), \(S_{10} = -15\). \[S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = (a_1 - 0{,}6) \cdot 5 = -15,\] откуда \(a_1 - 0{,}6 = -3\) и \(a_1 = -2{,}4\).
От первого члена до десятого девять шагов, поэтому \(a_{10} = a_1 + 9d\): \[-0{,}6 = -2{,}4 + 9d,\qquad 9d = 1{,}8,\qquad d = 0{,}2.\]
3) \(a_{13} = -1\frac{1}{3}\), \(S_{13} = -4\frac{1}{3}\). \[S_{13} = \frac{\left(a_1 - 1\frac{1}{3}\right) \cdot 13}{2} = -\frac{13}{3},\] откуда \(\left(a_1 - \frac{4}{3}\right) \cdot 13 = -\frac{26}{3}\), значит, \(a_1 - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}\) и \(a_1 = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\).
От первого члена до тринадцатого двенадцать шагов, поэтому \(a_{13} = a_1 + 12d\): \[-\frac{4}{3} = \frac{2}{3} + 12d,\qquad 12d = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -2,\qquad d = -\frac{1}{6}.\]
4) \(a_{11} = 1\frac{2}{3}\), \(S_{11} = 13\frac{3}{4}\). \[S_{11} = \frac{\left(a_1 + 1\frac{2}{3}\right) \cdot 11}{2} = \frac{55}{4},\] откуда \(\left(a_1 + \frac{5}{3}\right) \cdot 11 = \frac{55}{2}\), значит, \(a_1 + \frac{5}{3} = \frac{5}{2}\) и \(a_1 = \frac{5}{2} - \frac{5}{3} = \frac{15 - 10}{6} = \frac{5}{6}\).
От первого члена до одиннадцатого десять шагов, поэтому \(a_{11} = a_1 + 10d\): \[\frac{5}{3} = \frac{5}{6} + 10d,\qquad 10d = \frac{10 - 5}{6} = \frac{5}{6},\qquad d = \frac{1}{12}.\]
Ответ: 1) \(a_1 = -2\), \(d = -3\); 2) \(a_1 = -2{,}4\), \(d = 0{,}2\); 3) \(a_1 = \frac{2}{3}\), \(d = -\frac{1}{6}\); 4) \(a_1 = \frac{5}{6}\), \(d = \frac{1}{12}\).
