Страница 146 номер 6.2.39, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти \(n\)-й член и разность арифметической прогрессии, у которой: 1) \(a_1 = 8\), \(n = 26\), \(S_{26} = -416\); 2) \(a_1 = 15\), \(n = 21\), \(S_{21} = -567\).
Из формулы суммы \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\) находим последний член \(a_n\), затем из формулы \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) — разность.
1) \(a_1 = 8\), \(n = 26\), \(S_{26} = -416\). \[S_{26} = \frac{(a_1 + a_{26}) \cdot 26}{2} = (8 + a_{26}) \cdot 13.\]
Значит, \((8 + a_{26}) \cdot 13 = -416\), откуда \(8 + a_{26} = -32\) и \(a_{26} = -40\).
Из \(a_{26} = a_1 + d \cdot 25\): \[-40 = 8 + 25d,\qquad 25d = -48,\qquad d = -\frac{48}{25} = -1{,}92.\]
Разность отрицательна, прогрессия убывающая.
2) \(a_1 = 15\), \(n = 21\), \(S_{21} = -567\). \[S_{21} = \frac{(a_1 + a_{21}) \cdot 21}{2} = -567,\qquad (15 + a_{21}) \cdot 21 = -1134.\]
Отсюда \(15 + a_{21} = -54\) и \(a_{21} = -69\).
Из \(a_{21} = a_1 + d \cdot 20\): \[-69 = 15 + 20d,\qquad 20d = -84,\qquad d = -4{,}2.\]
Разность отрицательна, прогрессия убывающая.
Ответ: 1) \(a_{26} = -40\), \(d = -1{,}92\); 2) \(a_{21} = -69\), \(d = -4{,}2\).
Найти \(n\)-й член и разность арифметической прогрессии, у которой: 1) \(a_1 = 8\), \(n = 26\), \(S_{26} = -416\); 2) \(a_1 = 15\), \(n = 21\), \(S_{21} = -567\).
В каждом пункте известны первый член, число членов и их сумма. Сначала из формулы суммы \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\) находим последний член \(a_n\), а затем из формулы \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) — разность.
1) \(a_1 = 8\), \(n = 26\), \(S_{26} = -416\). \[S_{26} = \frac{(a_1 + a_{26}) \cdot 26}{2} = (8 + a_{26}) \cdot 13.\]
Значит, \((8 + a_{26}) \cdot 13 = -416\), откуда \(8 + a_{26} = -32\) и \(a_{26} = -40\).
Из формулы \(n\)-го члена \(a_{26} = a_1 + d \cdot 25\): \[-40 = 8 + 25d,\qquad 25d = -48,\qquad d = -\frac{48}{25} = -1{,}92.\]
Разность отрицательна, значит, прогрессия убывающая.
2) \(a_1 = 15\), \(n = 21\), \(S_{21} = -567\). \[S_{21} = \frac{(a_1 + a_{21}) \cdot 21}{2} = -567,\qquad (15 + a_{21}) \cdot 21 = -1134.\]
Отсюда \(15 + a_{21} = -54\) и \(a_{21} = -69\).
Из формулы \(n\)-го члена \(a_{21} = a_1 + d \cdot 20\): \[-69 = 15 + 20d,\qquad 20d = -84,\qquad d = -4{,}2.\]
Разность отрицательна, значит, прогрессия убывающая.
Ответ: 1) \(a_{26} = -40\), \(d = -1{,}92\); 2) \(a_{21} = -69\), \(d = -4{,}2\).
