Страница 146 номер 6.2.38, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Сколько нужно взять последовательных нечётных чисел, начиная с 29, чтобы их сумма была равна 1100?
Числа \(29;\ 31;\ 33;\ \ldots\) образуют арифметическую прогрессию: \(a_1 = 29\), \(d = 2\).
Пусть взято \(n\) таких чисел. По формуле суммы первых \(n\) членов \(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\): \[S_n = \frac{2 \cdot 29 + 2(n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 56}{2} \cdot n = (n + 28)n.\]
По условию сумма равна 1100: \[(n + 28)n = 1100,\qquad n^2 + 28n - 1100 = 0.\]
\(D = 28^2 + 4 \cdot 1100 = 784 + 4400 = 5184\), \(\sqrt{D} = 72\): \[n = \frac{-28 \pm 72}{2},\qquad n_1 = 22,\qquad n_2 = -50.\]
Число членов — натуральное число, поэтому корень \(-50\) не подходит; остаётся \(n = 22\).
Проверка: \(a_{22} = 29 + 2 \cdot (22 - 1) = 71\), и сумма двадцати двух чисел равна \(\frac{(29 + 71) \cdot 22}{2} = \frac{100 \cdot 22}{2} = 1100\).
Ответ: 22 числа.
Сколько нужно взять последовательных нечётных чисел, начиная с 29, чтобы их сумма была равна 1100?
Последовательные нечётные числа, начиная с 29, — это \(29;\ 31;\ 33;\ \ldots\): каждое следующее получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа 2. Значит, они образуют арифметическую прогрессию, у которой \(a_1 = 29\), \(d = 2\).
Пусть взято \(n\) таких чисел. Их сумму находим по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\): \[S_n = \frac{2 \cdot 29 + 2(n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 56}{2} \cdot n = (n + 28)n.\]
По условию сумма равна 1100, поэтому \[(n + 28)n = 1100,\qquad n^2 + 28n - 1100 = 0.\]
Дискриминант: \(D = 28^2 + 4 \cdot 1100 = 784 + 4400 = 5184\), \(\sqrt{D} = 72\). Тогда \[n = \frac{-28 \pm 72}{2},\qquad n_1 = 22,\qquad n_2 = -50.\]
Число членов — натуральное число, поэтому корень \(-50\) не подходит; остаётся \(n = 22\).
Проверка: \(a_{22} = 29 + 2 \cdot (22 - 1) = 71\), и сумма двадцати двух чисел равна \(\frac{(29 + 71) \cdot 22}{2} = \frac{100 \cdot 22}{2} = 1100\).
Ответ: 22 числа.
