Страница 146 номер 6.2.37, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Сколько нужно взять последовательных чётных чисел, начиная с 32, чтобы их сумма была равна 690?
Числа \(32;\ 34;\ 36;\ \ldots\) образуют арифметическую прогрессию: \(a_1 = 32\), \(d = 2\).
Пусть взято \(n\) таких чисел. По формуле суммы первых \(n\) членов \(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\): \[S_n = \frac{2 \cdot 32 + 2(n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 62}{2} \cdot n = (n + 31)n.\]
По условию сумма равна 690: \[(n + 31)n = 690,\qquad n^2 + 31n - 690 = 0.\]
\(D = 31^2 + 4 \cdot 690 = 961 + 2760 = 3721\), \(\sqrt{D} = 61\): \[n = \frac{-31 \pm 61}{2},\qquad n_1 = 15,\qquad n_2 = -46.\]
Число членов — натуральное число, поэтому корень \(-46\) не подходит; остаётся \(n = 15\).
Проверка: \(a_{15} = 32 + 2 \cdot (15 - 1) = 60\), и сумма пятнадцати чисел равна \(\frac{(32 + 60) \cdot 15}{2} = \frac{92 \cdot 15}{2} = 690\).
Ответ: 15 чисел.
Сколько нужно взять последовательных чётных чисел, начиная с 32, чтобы их сумма была равна 690?
Последовательные чётные числа, начиная с 32, — это \(32;\ 34;\ 36;\ \ldots\): каждое следующее получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа 2. Значит, они образуют арифметическую прогрессию, у которой \(a_1 = 32\), \(d = 2\).
Пусть взято \(n\) таких чисел. Их сумму находим по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\): \[S_n = \frac{2 \cdot 32 + 2(n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 62}{2} \cdot n = (n + 31)n.\]
По условию сумма равна 690, поэтому \[(n + 31)n = 690,\qquad n^2 + 31n - 690 = 0.\]
Дискриминант: \(D = 31^2 + 4 \cdot 690 = 961 + 2760 = 3721\), \(\sqrt{D} = 61\). Тогда \[n = \frac{-31 \pm 61}{2},\qquad n_1 = 15,\qquad n_2 = -46.\]
Число членов — натуральное число, поэтому корень \(-46\) не подходит; остаётся \(n = 15\).
Проверка: \(a_{15} = 32 + 2 \cdot (15 - 1) = 60\), и сумма пятнадцати чисел равна \(\frac{(32 + 60) \cdot 15}{2} = \frac{92 \cdot 15}{2} = 690\).
Ответ: 15 чисел.
