Страница 146 номер 6.2.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Из \(a_{n+1} = a_n - 5\) получаем \(a_{n+1} - a_n = -5\): разность соседних членов одна и та же при любом номере \(n\). Значит, по определению последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = -5\) и первым членом \(a_1 = -30\).
По формуле суммы первых \(n\) членов \(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\) при \(n = 16\): \[S_{16} = \frac{2 \cdot (-30) + (-5) \cdot 15}{2} \cdot 16 = \frac{-60 - 75}{2} \cdot 16 = \frac{-135}{2} \cdot 16 = -1080.\]
2) Из \(a_{n+1} = a_n + 11\) получаем \(a_{n+1} - a_n = 11\): разность соседних членов постоянна и от номера не зависит. Значит, по определению последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 11\) и первым членом \(a_1 = -16\).
По той же формуле \[S_{16} = \frac{2 \cdot (-16) + 11 \cdot 15}{2} \cdot 16 = \frac{-32 + 165}{2} \cdot 16 = \frac{133}{2} \cdot 16 = 1064.\]
Ответ: 1) \(S_{16} = -1080\); 2) \(S_{16} = 1064\).
1) По условию \(a_{n+1} = a_n - 5\) при любом натуральном \(n\). Перенесём \(a_n\) в левую часть равенства и получим разность соседних членов: \(a_{n+1} - a_n = -5\). Она одна и та же при любом номере \(n\), то есть каждый член последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом \(-5\). По определению это арифметическая прогрессия с разностью \(d = -5\) и первым членом \(a_1 = -30\).
Сумму первых шестнадцати членов находим по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\) при \(n = 16\): \[S_{16} = \frac{2 \cdot (-30) + (-5) \cdot 15}{2} \cdot 16 = \frac{-60 - 75}{2} \cdot 16 = \frac{-135}{2} \cdot 16 = -1080.\]
2) По условию \(a_{n+1} = a_n + 11\) при любом натуральном \(n\), откуда \(a_{n+1} - a_n = 11\). Разность соседних членов постоянна и от номера не зависит, то есть каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 11. По определению это арифметическая прогрессия с разностью \(d = 11\) и первым членом \(a_1 = -16\).
Сумму первых шестнадцати членов находим по той же формуле: \[S_{16} = \frac{2 \cdot (-16) + 11 \cdot 15}{2} \cdot 16 = \frac{-32 + 165}{2} \cdot 16 = \frac{133}{2} \cdot 16 = 1064.\]
Ответ: 1) \(S_{16} = -1080\); 2) \(S_{16} = 1064\).
