Страница 145 номер 6.2.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Члены \(a_{14}\), \(a_{15}\), \(a_{16}\) стоят подряд, а каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, поэтому \(a_{15} = \frac{a_{14} + a_{16}}{2}\); от четырнадцатого члена до шестнадцатого два шага, то есть \(a_{16} = a_{14} + 2d\), откуда \(d = \frac{a_{16} - a_{14}}{2}\).
1) При \(a_{14} = 328\) и \(a_{16} = 144\): \[a_{15} = \frac{328 + 144}{2} = \frac{472}{2} = 236;\qquad d = \frac{144 - 328}{2} = \frac{-184}{2} = -92.\]
2) При \(a_{14} = -396\) и \(a_{16} = 205\): \[a_{15} = \frac{-396 + 205}{2} = \frac{-191}{2} = -95{,}5;\qquad d = \frac{205 - (-396)}{2} = \frac{601}{2} = 300{,}5.\]
3) При \(a_{14} = -\frac{5}{24}\) и \(a_{16} = \frac{1}{18}\) общий знаменатель дробей равен 72: \[a_{14} + a_{16} = -\frac{5}{24} + \frac{1}{18} = -\frac{15}{72} + \frac{4}{72} = -\frac{11}{72},\] \[a_{15} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{11}{72}\right) = -\frac{11}{144}.\]
\[a_{16} - a_{14} = \frac{1}{18} + \frac{5}{24} = \frac{4}{72} + \frac{15}{72} = \frac{19}{72},\] \[d = \frac{1}{2} \cdot \frac{19}{72} = \frac{19}{144}.\]
4) При \(a_{14} = \frac{1}{45}\) и \(a_{16} = -\frac{1}{60}\) общий знаменатель дробей равен 180: \[a_{14} + a_{16} = \frac{1}{45} - \frac{1}{60} = \frac{4}{180} - \frac{3}{180} = \frac{1}{180},\] \[a_{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{180} = \frac{1}{360}.\]
\[a_{16} - a_{14} = -\frac{1}{60} - \frac{1}{45} = -\frac{3}{180} - \frac{4}{180} = -\frac{7}{180},\] \[d = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{7}{180}\right) = -\frac{7}{360}.\]
Ответ: 1) \(a_{15} = 236\), \(d = -92\); 2) \(a_{15} = -95{,}5\), \(d = 300{,}5\); 3) \(a_{15} = -\frac{11}{144}\), \(d = \frac{19}{144}\); 4) \(a_{15} = \frac{1}{360}\), \(d = -\frac{7}{360}\).
Члены \(a_{14}\), \(a_{15}\), \(a_{16}\) стоят в прогрессии подряд, а каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов: \[a_{15} = \frac{a_{14} + a_{16}}{2}.\]
От четырнадцатого члена до шестнадцатого два шага, то есть \(a_{16} = a_{14} + 2d\), откуда \(d = \frac{a_{16} - a_{14}}{2}\).
1) При \(a_{14} = 328\) и \(a_{16} = 144\): \[a_{15} = \frac{328 + 144}{2} = \frac{472}{2} = 236;\qquad d = \frac{144 - 328}{2} = \frac{-184}{2} = -92.\]
2) При \(a_{14} = -396\) и \(a_{16} = 205\): \[a_{15} = \frac{-396 + 205}{2} = \frac{-191}{2} = -95{,}5;\qquad d = \frac{205 - (-396)}{2} = \frac{601}{2} = 300{,}5.\]
3) При \(a_{14} = -\frac{5}{24}\) и \(a_{16} = \frac{1}{18}\) общий знаменатель дробей равен 72: \[a_{14} + a_{16} = -\frac{5}{24} + \frac{1}{18} = -\frac{15}{72} + \frac{4}{72} = -\frac{11}{72},\] \[a_{15} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{11}{72}\right) = -\frac{11}{144}.\]
Разность находим так же: \[a_{16} - a_{14} = \frac{1}{18} + \frac{5}{24} = \frac{4}{72} + \frac{15}{72} = \frac{19}{72},\] \[d = \frac{1}{2} \cdot \frac{19}{72} = \frac{19}{144}.\]
4) При \(a_{14} = \frac{1}{45}\) и \(a_{16} = -\frac{1}{60}\) общий знаменатель дробей равен 180: \[a_{14} + a_{16} = \frac{1}{45} - \frac{1}{60} = \frac{4}{180} - \frac{3}{180} = \frac{1}{180},\] \[a_{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{180} = \frac{1}{360}.\]
Разность находим так же: \[a_{16} - a_{14} = -\frac{1}{60} - \frac{1}{45} = -\frac{3}{180} - \frac{4}{180} = -\frac{7}{180},\] \[d = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{7}{180}\right) = -\frac{7}{360}.\]
Ответ: 1) \(a_{15} = 236\), \(d = -92\); 2) \(a_{15} = -95{,}5\), \(d = 300{,}5\); 3) \(a_{15} = -\frac{11}{144}\), \(d = \frac{19}{144}\); 4) \(a_{15} = \frac{1}{360}\), \(d = -\frac{7}{360}\).
