Страница 145 номер 6.2.28, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких \(n\) выполняется неравенство \(a_n \le -7\), если в арифметической прогрессии: 1) \(a_1 = 14\), \(d = -0{,}4\); 2) \(a_1 = 20\), \(d = -0{,}5\).
1) По формуле \(n\)-го члена при \(a_1 = 14\) и \(d = -0{,}4\): \[a_n = 14 - 0{,}4(n - 1) = 14{,}4 - 0{,}4n.\]
Прогрессия убывающая. Неравенство \(a_n \leqslant -7\) принимает вид \(14{,}4 - 0{,}4n \leqslant -7\), то есть \(-0{,}4n \leqslant -21{,}4\); обе части делим на отрицательное число \(-0{,}4\) и меняем знак неравенства: \(n \geqslant 53{,}5\).
Номер члена натуральный, а наименьшее натуральное число, не меньшее \(53{,}5\), равно 54: неравенство \(a_n \leqslant -7\) выполняется при \(n \geqslant 54\).
2) По формуле \(n\)-го члена при \(a_1 = 20\) и \(d = -0{,}5\): \[a_n = 20 - 0{,}5(n - 1) = 20{,}5 - 0{,}5n.\]
Прогрессия убывающая. Неравенство \(a_n \leqslant -7\) принимает вид \(20{,}5 - 0{,}5n \leqslant -7\), то есть \(-0{,}5n \leqslant -27{,}5\); делим на отрицательное число \(-0{,}5\) со сменой знака неравенства: \(n \geqslant 55\).
Число 55 натуральное, поэтому неравенство \(a_n \leqslant -7\) выполняется при \(n \geqslant 55\).
Ответ: 1) \(n \geqslant 54\); 2) \(n \geqslant 55\).
Установить, при каких \(n\) выполняется неравенство \(a_n \le -7\), если в арифметической прогрессии: 1) \(a_1 = 14\), \(d = -0{,}4\); 2) \(a_1 = 20\), \(d = -0{,}5\).
1) По формуле \(n\)-го члена при \(a_1 = 14\) и \(d = -0{,}4\): \[a_n = 14 - 0{,}4(n - 1) = 14{,}4 - 0{,}4n.\]
Разность отрицательна, прогрессия убывающая. Неравенство \(a_n \leqslant -7\) принимает вид \(14{,}4 - 0{,}4n \leqslant -7\), то есть \(-0{,}4n \leqslant -21{,}4\). Обе части делим на отрицательное число \(-0{,}4\) и меняем знак неравенства на противоположный: \(n \geqslant 53{,}5\).
Номер члена — натуральное число, а наименьшее натуральное число, не меньшее \(53{,}5\), равно 54. Значит, неравенство \(a_n \leqslant -7\) выполняется при \(n \geqslant 54\).
2) По формуле \(n\)-го члена при \(a_1 = 20\) и \(d = -0{,}5\): \[a_n = 20 - 0{,}5(n - 1) = 20{,}5 - 0{,}5n.\]
Прогрессия убывающая. Неравенство \(a_n \leqslant -7\) принимает вид \(20{,}5 - 0{,}5n \leqslant -7\), то есть \(-0{,}5n \leqslant -27{,}5\). Делим обе части на отрицательное число \(-0{,}5\) со сменой знака неравенства: \(n \geqslant 55\).
Число 55 натуральное, поэтому неравенство \(a_n \leqslant -7\) выполняется при \(n \geqslant 55\).
Ответ: 1) \(n \geqslant 54\); 2) \(n \geqslant 55\).
