Страница 145 номер 6.2.21, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Сумма пятого и десятого членов арифметической прогрессии на 20 больше суммы шестого и седьмого её членов. Найти разность этой прогрессии.
По формуле \(n\)-го члена \(a_n = a_1 + d(n - 1)\): \[a_5 = a_1 + 4d,\qquad a_{10} = a_1 + 9d,\qquad a_6 = a_1 + 5d,\qquad a_7 = a_1 + 6d.\]
Сумма пятого и десятого членов на 20 больше суммы шестого и седьмого: \[(a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) = (a_1 + 5d) + (a_1 + 6d) + 20.\]
\[\begin{aligned} 2a_1 + 13d &= 2a_1 + 11d + 20, \\ 13d - 11d &= 20, \\ 2d &= 20, \\ d &= 10. \end{aligned}\]
Первый член сократился, поэтому разность находится однозначно при любом значении \(a_1\).
Ответ: 10.
Сумма пятого и десятого членов арифметической прогрессии на 20 больше суммы шестого и седьмого её членов. Найти разность этой прогрессии.
Выразим нужные члены через первый член \(a_1\) и разность \(d\) по формуле \(a_n = a_1 + d(n - 1)\): \[a_5 = a_1 + 4d,\qquad a_{10} = a_1 + 9d,\qquad a_6 = a_1 + 5d,\qquad a_7 = a_1 + 6d.\]
Сумма пятого и десятого членов на 20 больше суммы шестого и седьмого, поэтому получаем уравнение \[(a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) = (a_1 + 5d) + (a_1 + 6d) + 20.\]
Приведём подобные слагаемые в каждой части: \[\begin{aligned} 2a_1 + 13d &= 2a_1 + 11d + 20, \\ 13d - 11d &= 20, \\ 2d &= 20, \\ d &= 10. \end{aligned}\]
Первый член сократился, поэтому разность находится однозначно при любом значении \(a_1\).
Ответ: 10.
