Страница 144 номер 6.2.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Число: 1) \(14\sqrt{3}\); 2) \(50\sqrt{3}\) является членом арифметической прогрессии \(2\sqrt{3}\), \(6\sqrt{3}\), ... . Найти его номер.
\(a_1 = 2\sqrt{3}\), \(d = a_2 - a_1 = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
По формуле \(n\)-го члена \[a_n = a_1 + d(n - 1) = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}(n - 1) = (4n - 2)\sqrt{3}.\]
1) \((4n - 2)\sqrt{3} = 14\sqrt{3}\); делим обе части на \(\sqrt{3}\): \[4n - 2 = 14,\qquad 4n = 16,\qquad n = 4.\]
Число 4 натуральное, значит, \(14\sqrt{3}\) — четвёртый член данной прогрессии.
2) \((4n - 2)\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\), то есть \[4n - 2 = 50,\qquad 4n = 52,\qquad n = 13.\]
Число 13 натуральное, значит, \(50\sqrt{3}\) — тринадцатый член данной прогрессии.
Ответ: 1) 4; 2) 13.
Число: 1) \(14\sqrt{3}\); 2) \(50\sqrt{3}\) является членом арифметической прогрессии \(2\sqrt{3}\), \(6\sqrt{3}\), ... . Найти его номер.
В прогрессии \(2\sqrt{3}\); \(6\sqrt{3}\); … первый член \(a_1 = 2\sqrt{3}\), а разность \(d = a_2 - a_1 = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
Формула \(n\)-го члена: \[a_n = a_1 + d(n - 1) = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}(n - 1) = (4n - 2)\sqrt{3}.\]
Данное число является членом прогрессии, если существует такое натуральное \(n\), при котором \(a_n\) равно этому числу.
1) Решаем уравнение \((4n - 2)\sqrt{3} = 14\sqrt{3}\). Обе части делим на \(\sqrt{3}\) (это число, отличное от нуля): \[4n - 2 = 14,\qquad 4n = 16,\qquad n = 4.\]
Число 4 натуральное, значит, \(14\sqrt{3}\) — четвёртый член данной прогрессии.
2) Решаем уравнение \((4n - 2)\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\), то есть \[4n - 2 = 50,\qquad 4n = 52,\qquad n = 13.\]
Число 13 натуральное, значит, \(50\sqrt{3}\) — тринадцатый член данной прогрессии.
Ответ: 1) 4; 2) 13.
