Страница 144 номер 6.2.15, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что последовательность является арифметической прогрессией, если её \(n\)-й член задан формулой: 1) \(a_n = 24n - 7\); 2) \(a_n = 53 - 16n\); 3) \(a_n = 10(2 - n)\); 4) \(a_n = 13(2n - 3)\).
Последовательность является арифметической прогрессией, если разность \(a_{n+1} - a_n\) при любом натуральном \(n\) равна одному и тому же числу.
1) \(a_{n+1} = 24(n + 1) - 7 = 24n + 17\), поэтому \[a_{n+1} - a_n = (24n + 17) - (24n - 7) = 24.\] Разность не зависит от \(n\), поэтому по определению последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 24\).
2) \(a_{n+1} = 53 - 16(n + 1) = 37 - 16n\), поэтому \[a_{n+1} - a_n = (37 - 16n) - (53 - 16n) = -16.\] Разность не зависит от \(n\), поэтому последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = -16\).
3) \(a_n = 10(2 - n) = 20 - 10n\), значит, \(a_{n+1} = 20 - 10(n + 1) = 10 - 10n\) и \[a_{n+1} - a_n = (10 - 10n) - (20 - 10n) = -10.\] Разность не зависит от \(n\), поэтому последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = -10\).
4) \(a_n = 13(2n - 3) = 26n - 39\), значит, \(a_{n+1} = 26(n + 1) - 39 = 26n - 13\) и \[a_{n+1} - a_n = (26n - 13) - (26n - 39) = 26.\] Разность не зависит от \(n\), поэтому последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 26\).
Ответ: в каждом пункте разность \(a_{n+1} - a_n\) одна и та же при всех натуральных \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией; её разность равна: 1) \(d = 24\); 2) \(d = -16\); 3) \(d = -10\); 4) \(d = 26\).
Доказать, что последовательность является арифметической прогрессией, если её \(n\)-й член задан формулой: 1) \(a_n = 24n - 7\); 2) \(a_n = 53 - 16n\); 3) \(a_n = 10(2 - n)\); 4) \(a_n = 13(2n - 3)\).
Последовательность является арифметической прогрессией, если разность между её членом с номером \(n + 1\) и предыдущим членом при любом натуральном \(n\) равна одному и тому же числу. Поэтому в каждом пункте выпишем \(a_{n+1}\) и найдём разность \(a_{n+1} - a_n\).
1) \(a_n = 24n - 7\), значит, \(a_{n+1} = 24(n + 1) - 7 = 24n + 17\) и \[a_{n+1} - a_n = (24n + 17) - (24n - 7) = 24.\] Разность не зависит от \(n\): при любом натуральном \(n\) следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа 24. По определению последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 24\).
2) \(a_n = 53 - 16n\), значит, \(a_{n+1} = 53 - 16(n + 1) = 37 - 16n\) и \[a_{n+1} - a_n = (37 - 16n) - (53 - 16n) = -16.\] Разность не зависит от \(n\), поэтому последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = -16\).
3) \(a_n = 10(2 - n) = 20 - 10n\), значит, \(a_{n+1} = 20 - 10(n + 1) = 10 - 10n\) и \[a_{n+1} - a_n = (10 - 10n) - (20 - 10n) = -10.\] Разность не зависит от \(n\), поэтому последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = -10\).
4) \(a_n = 13(2n - 3) = 26n - 39\), значит, \(a_{n+1} = 26(n + 1) - 39 = 26n - 13\) и \[a_{n+1} - a_n = (26n - 13) - (26n - 39) = 26.\] Разность не зависит от \(n\), поэтому последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 26\).
Ответ: в каждом пункте разность \(a_{n+1} - a_n\) одна и та же при всех натуральных \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией; её разность равна: 1) \(d = 24\); 2) \(d = -16\); 3) \(d = -10\); 4) \(d = 26\).
